Question

3．如圖所示，一質量為m的小球C用輕繩懸掛在O點，小球下方有一質量為2m的平板車B靜止在光滑水平地面上，小球的位置比車板略高，一質量為m的物塊A以大小為v₀的初速度向左滑上平板車，此時A、C間的距離為d，一段時間后，物塊A與小球C發(fā)生碰撞，碰撞時兩者的速度互換，且碰撞時間極短，已知物塊與平板車間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，若A碰C之前物塊與平板車已達共同速度，求：
（1）A、C間的距離d與v₀之間滿足的關系式；
（2）要使碰后小球C能繞O點做完整的圓周運動，輕繩的長度l應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）A碰C前與平板車速度達到相等，由AC系統(tǒng)動量守恒，求得共同速度．由動能定理求A的位移，從而求得d與v₀之間滿足的關系式；
（2）A碰C后交換速度，C開始做完整的圓周運動，由機械能守恒定律得到C到達最高點的速度．在最高點，根據(jù)向心力大于等于C的重力列式，聯(lián)立求解即可．

解答 解：（1）A碰C前與平板車速度達到相等，設共同速度為v′，取向左為正方向，由動量守恒定律得：
  mv₀=（m+2m）v′
A碰C前與平板車速度達到相等，設整個過程A的位移是x，由動能定理得：
-μmgx=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv₀²
聯(lián)立上式，解得：x=$\frac{4{v}_{0}^{2}}{9μg}$
滿足的條件是：d≥$\frac{4{v}_{0}^{2}}{9μg}$．
（2）A碰C后，C以速度v′開始做完整的圓周運動，由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv′²=mg•2l+$\frac{1}{2}$mv″²
小球經過最高點時，有：mg≤m$\frac{v{″}^{2}}{l}$
解得：l≤$\frac{{v}_{0}^{2}}{45g}$
答：（1）A、C間的距離d與v₀之間滿足的關系式是d≥$\frac{4{v}_{0}^{2}}{9μg}$；
（2）要使碰后小球C能繞O點做完整的圓周運動，輕繩的長度l應滿足的條件是l≤$\frac{{v}_{0}^{2}}{45g}$．

點評 該題在不同條件下多次運用系統(tǒng)動量守恒定律和動能定理，關鍵要分析物體的運動過程，把握圓周運動最高點的臨界條件．