Question

17．如圖所示，AOB是游樂(lè)場(chǎng)中的滑道模型，它位于豎直平面內(nèi)，由兩個(gè)半徑都是R的QUOTE圓周連接而成，它們的圓心O₁、O₂與兩圓弧的連接點(diǎn)O在同一豎直線上．O₂B沿水池的水面，O₂和B兩點(diǎn)位于同一水平面上．一個(gè)質(zhì)量為m的小滑塊可由弧AO的任意位置從靜止開(kāi)始滑下，不計(jì)一切摩擦．
（1）假設(shè)小滑塊由A點(diǎn)靜止下滑，求小滑塊滑到O點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能大小；
（2）求小滑塊在O點(diǎn)時(shí)對(duì)滑道的壓力大小
（3）若小滑塊從開(kāi)始下滑到脫離滑道過(guò)程中，在兩個(gè)圓弧上滑過(guò)的弧長(zhǎng)相等，則小滑塊開(kāi)始下滑時(shí)應(yīng)在圓弧AO上的何處（用該處到O₁點(diǎn)的連線與豎直線的夾角的三角函數(shù)值表示）

Answer 1

分析 （1）從A到O有動(dòng)能定理即可求的動(dòng)能；
（2）根據(jù)牛頓第二定律菊科求的對(duì)軌道O的壓力；
（3）如圖所示，設(shè)滑塊出發(fā)點(diǎn)為P₁，離開(kāi)點(diǎn)為P₂，按題意要求O₁P₁、O₂P₂與豎直方向的夾角相等，設(shè)其為θ，若離開(kāi)滑道時(shí)的速度為v，則滑塊在P₂處脫離滑道的條件是$\frac{m{v}^{2}}{R}=mgcosθ$，結(jié)合機(jī)械能守恒即可求解．

解答 解：（1）小滑塊由A點(diǎn)滑到O點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理得：mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²=E_k
E_k=mgR
（2）在O點(diǎn)由牛頓第二定律得：F_N-mg=$\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}$　
解得：F_N=3mg
根據(jù)牛頓第三定律可知對(duì)軌道的壓力位3mg
（3）如圖所示，設(shè)小滑塊出發(fā)點(diǎn)為P₁，離開(kāi)點(diǎn)為P₂，由題意要求O₁P₁、O₂P₂與豎直方向的夾角相等，設(shè)為θ，若離開(kāi)滑道時(shí)的速度為v，則小滑塊在P₂處脫離滑道的條件是：mgcosθ=$\frac{{m{v^2}}}{R}$ 
由動(dòng)能定理得：2mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²
解得：cosθ=0.8
答：（1）小滑塊滑到O點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能大小為mgR；
（2）求小滑塊在O點(diǎn)時(shí)對(duì)滑道的壓力大小為3mg
（3）若小滑塊從開(kāi)始下滑到脫離滑道過(guò)程中，在兩個(gè)圓弧上滑過(guò)的弧長(zhǎng)相等，則小滑塊開(kāi)始下滑時(shí)應(yīng)在圓弧AO上的cosθ=0.8

點(diǎn)評(píng) 該題主要考查了動(dòng)能定理、向心力公式、平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及機(jī)械能守恒定律，綜合性較強(qiáng)，難度較大．