Question

6．如圖所示，傳送帶以v=1m/s的恒定速率順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B為傳送帶的兩端，一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的物體以v₀=4m/s的初速度滑上傳送帶的A端，物體與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，傳送帶與水平面夾角為θ=37°，A、B間長(zhǎng)L=4m，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）物體剛滑上A端時(shí)獲得的加速度的大小和方向；
（2）物體沿傳送帶上升的最大距離；
（3）物體在傳送帶上面運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）分析物體的受力情況，由牛頓第二定律求加速度．
（2）先由速度位移公式求物體速度增大到傳送帶速度時(shí)上升的距離．兩者共速后，由牛頓第二定律求得減速運(yùn)動(dòng)的加速度，再由速度位移公式求得速度減至零時(shí)上升的距離，從而得到最大距離．
（3）物體的速度減至零后沿傳送帶下滑，由牛頓第二定律求得加速度，再由位移公式求下滑的時(shí)間．由速度公式求上升的時(shí)間，從而得到總時(shí)間．

解答 解：（1）物體剛滑上A端時(shí)，受到重力、傳送帶的支持力和沿傳送帶向下的滑動(dòng)摩擦力，由牛頓第二定律得：
   mgsin37°+μmgcos37°=ma₁，
解得  a₁=10m/s²．方向沿傳送帶向下．
（2）物體從滑上傳送帶到速度與傳送帶相同時(shí)上升的距離 x₁=$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{-2{a}_{1}}$=$\frac{{1}^{2}-{4}^{2}}{-2×10}$=0.75m
共速時(shí)，由于mgsin37°＞μmgcos37°，所以接下來(lái)物體勻減速上升，加速度大小為
    a₂=$\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=g（sin37°-μcos37°）=10×（0.6-0.5×0.8）=2m/s²．方向沿傳送帶向下．
勻減速運(yùn)動(dòng)的最大距離 x₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{{1}^{2}}{2×2}$m=0.25m
故物體沿傳送帶上升的最大距離 x=x₁+x₂=1m；
（3）物體在傳送帶上上升的時(shí)間 t₁=$\frac{{v}_{0}-v}{{a}_{1}}$+$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{4-1}{10}$+$\frac{1}{2}$=0.8s
對(duì)于下滑過(guò)程，由牛頓第二定律得：
   mgsin37°-μmgcos37°=ma₃，
得 a₃=$\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}$=g（sin37°-μcos37°）=10×（0.6-0.5×0.8）=2m/s²．方向沿傳送帶向下．
由x=$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$得
   t₂=$\sqrt{\frac{2x}{{a}_{3}}}$=$\sqrt{\frac{2×1}{2}}$=1s
物體在傳送帶上面運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間 t=t₁+t₂=0.8+1=1.8s．
答：
（1）物體剛滑上A端時(shí)獲得的加速度的大小是10m/s²．方向沿傳送帶向下；
（2）物體沿傳送帶上升的最大距離是1m；
（3）物體在傳送帶上面運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是1.8s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清物體的運(yùn)動(dòng)，物體上升經(jīng)歷了兩個(gè)勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小不等，下滑勻加速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．