Question

6．美國科學(xué)家發(fā)射的最新火星登陸器“鳳凰”號（造價高達(dá)4.2億美元）登陸火星后（下圖為“鳳凰”號著陸情景），為了測定火星的重力加速度，進(jìn)行了如下實驗．在一外方內(nèi)圓的盒子內(nèi)放一個小球，且小球質(zhì)量與盒子質(zhì)量相等均為m，通過計算機(jī)控制，給小球一個初速度v，讓小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，結(jié)果發(fā)現(xiàn)小球在經(jīng)過最高點(diǎn)時盒子剛好能離開地面，已知盒子內(nèi)壁光滑，半徑為r，火星的半徑為R試求：
（1）火星表面的重力加速度，
（2）火星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球在最高點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出火星表面的重力加速度．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力求出第一宇宙速度．

解答 解：（1）設(shè)小球經(jīng)過最高點(diǎn)時速度為υ'，由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)時，機(jī)械能守恒，則有：
$\frac{1}{2}$$mV{′}^{2}+mg2R=\frac{1}{2}m{V}^{2}$
在最高點(diǎn)，由題意可知方盒對小球向下的作用力為mg，由牛頓第二定律得：
F_合=mg+mg=m$\frac{V{′}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：g=$\frac{{V}^{2}}{6R}$…①
（2）設(shè)火星質(zhì)量為M，則由萬有引力定律可得在火星表面上有：$\frac{GMm}{R{′}^{2}}$=mg…②
當(dāng)“鳳凰”號沿火星表面上附近運(yùn)動時有：$\frac{GMm}{R{′}^{2}}$=$\frac{m{V}_{1}^{2}}{R′}$…③
聯(lián)立①②③解得：υ₁=υ$\sqrt{\frac{R′}{6R}}$
答：（1）火星表面的重力加速度$\frac{{V}^{2}}{6R}$．
（2）火星的第一宇宙速度V$\sqrt{\frac{R′}{6R}}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律，以及考查了萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生能力的要求較高．