Question

4．直線電機(jī)是一種利用電磁驅(qū)動(dòng)原理工作的電動(dòng)機(jī)械，我們可以利用以下簡單的模型粗淺地理解其工作原理．如圖所示，一半徑為r、電阻為R的細(xì)銅環(huán)質(zhì)量為m，置于水平桌面（圖中未畫出該桌面）的圓孔上（孔徑等于環(huán)內(nèi)徑）．另有一表面光滑的圓柱形磁棒（半徑遠(yuǎn)大于繞制銅環(huán)的導(dǎo)線橫截面的半徑）豎直穿過圓孔和環(huán)，恰與孔、環(huán)不接觸．磁棒產(chǎn)生的磁場方向沿半徑方向向外，在環(huán)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，磁棒下端足夠長，重力加速度為g．
（1）若棒由靜止開始豎直向上運(yùn)動(dòng)，其速度v與位移x的關(guān)系為v=kx（k為已知常量），當(dāng)棒速度為v_a時(shí)環(huán)恰好對桌面壓力為零，求v_a大小和此過程中環(huán)上產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（2）若棒以速度v_b（v_b＞v_a）豎直向上勻速運(yùn)動(dòng)，環(huán)離開桌面后經(jīng)時(shí)間t達(dá)到最大速度，求此時(shí)間內(nèi)環(huán)上升的高度h大小；
（3）如果保持材料和半徑都不變，僅將繞制銅環(huán)的銅線加粗一些，試分析說明第（2）問中銅環(huán)增加的動(dòng)能如何變化．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律結(jié)合磁棒與環(huán)之間的相對運(yùn)動(dòng)的速度，可求得產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢，由歐姆定律可求得感應(yīng)電流，對環(huán)受力分析，根據(jù)力的平衡列式即可求得環(huán)恰好對桌面壓力為零時(shí)的速度，結(jié)合能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律可解的此過程中環(huán)上產(chǎn)生的焦耳熱Q．
（2）設(shè)出環(huán)的最大速度，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律結(jié)合磁棒與環(huán)之間的相對運(yùn)動(dòng)的速度，可求得此時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢，在由歐姆定律解得感應(yīng)電流，當(dāng)環(huán)達(dá)到最大速度時(shí)，環(huán)受力平衡，可由力的平衡列式，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即可求得此時(shí)間內(nèi)環(huán)上升的高度h大�。�
（3）根據(jù)質(zhì)量的公式m=ρV以及電阻定律，再結(jié)合第（2）問中的受力平衡的式子聯(lián)立即可判知速度的變化情況，結(jié)合質(zhì)量的變化，繼而可得知銅環(huán)增加的動(dòng)能如何變化．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，棒速度為v_a時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為：E=B•2πr•v_a…①
感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R}$…②
當(dāng)棒速度為v_a時(shí)環(huán)恰好對桌面壓力為零，有：BI•2πr=mg…③
①②③聯(lián)立得：v_a=$\frac{mgR}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}$…④
速度v與位移x的關(guān)系得：v_a=kx…⑤
過程中環(huán)上產(chǎn)生的焦耳熱為：Q=$\frac{0+mg}{2}x$…⑥
聯(lián)立④⑤⑥解得：Q=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{8k{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}$…⑦
（2）設(shè)環(huán)的最大速度為v，則有：
E₁=B•2πr•（v_b-v）…⑧
產(chǎn)生的感應(yīng)電流為：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$…⑨
同理可得：$\frac{{B}^{2}（2πr）^{2}（{v}_-v）}{R}$=mg…⑩
在時(shí)間t內(nèi)對環(huán)用動(dòng)量定理，得：$\frac{{B}^{2}（2πr）^{2}\overline{△v}}{R}t$-mgt=mv-0…⑪
$\overline{△v}t$=△h…⑫
h=v_bt-△h…⑬
由⑧⑨⑩⑪⑫⑬聯(lián)立得：
h=v_bt-${\frac{（mgt+m{v}_-\frac{{m}^{2}gR}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}）R}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}}^{\;}$…⑭
（3）設(shè)銅的密度為ρ，電阻率為ρ_電，銅線的橫截面積為S，有：
m=ρ•2πr•S…⑮
R=ρ_電•$\frac{2πr}{S}$…⑯
由⑩⑮⑯聯(lián)立解得：B²（v_b-v）=ρ•ρ_電
所以銅環(huán)最大速度v不變，由于m增大，所以這段時(shí)間內(nèi)銅環(huán)增加的動(dòng)能增大．
答：（1）若棒由靜止開始豎直向上運(yùn)動(dòng)，其速度v與位移x的關(guān)系為v=kx（k為已知常量），當(dāng)棒速度為v_a時(shí)環(huán)恰好對桌面壓力為零，v_a大小和此過程中環(huán)上產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{8k{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}$．
（2）若棒以速度v_b（v_b＞v_a）豎直向上勻速運(yùn)動(dòng)，環(huán)離開桌面后經(jīng)時(shí)間t達(dá)到最大速度，求此時(shí)間內(nèi)環(huán)上升的高度h大小為v_bt-${\frac{（mgt+m{v}_-\frac{{m}^{2}gR}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}）R}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}}^{\;}$．
（3）如果保持材料和半徑都不變，僅將繞制銅環(huán)的銅線加粗一些，第（2）問中銅環(huán)增加的動(dòng)能增大．

點(diǎn)評(píng) 該題是難度非常大一道題，解答該題，首先要熟練的掌握電磁感應(yīng)定律及歐姆定律的應(yīng)用，同時(shí)注意對環(huán)的受力情況變化的分析，注意臨界狀態(tài)的判斷和分析，同時(shí)要求學(xué)生要有較強(qiáng)的對物理表達(dá)式的處理能力，這就要求學(xué)生要多進(jìn)行這方面的訓(xùn)練．