Question

17．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第I象限存在沿y軸方向勻強(qiáng)電場(chǎng)，第Ⅳ象限以O(shè)N為直徑的半圓形區(qū)域內(nèi)，存在垂直于坐標(biāo)平面內(nèi)向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量m、電荷量為q的帶正電的粒子，從y軸正半軸上y=h處的M點(diǎn)，以速度v₀垂直于y軸射入電場(chǎng)，經(jīng)x軸上x=2h處的P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，最后以垂直于y軸的方向磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力．求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E；
（2）粒子通過磁場(chǎng)最后打在y軸的位置；
（3）粒子從進(jìn)入電場(chǎng)到離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的總時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的水平分位移公式和豎直分位移公式以及牛頓第二定律列式求解；
（2）對(duì)類似平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)用動(dòng)能定理求解出末速度，對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解出軌道半徑．由幾何關(guān)系即可確定打y軸上的距離．
（3）粒子的運(yùn)動(dòng)分為兩部分，一是在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，二是在第四象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分段求出時(shí)間，相加可得總時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁
x方向：2h=v₀t₁
y方向：h=$\frac{1}{2}$at₁²
根據(jù)牛頓第二定律：Eq=ma
聯(lián)立以上三式，解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
（2）類平拋運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)動(dòng)能定理：Eqh=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
將E的表達(dá)式代入上式，得：v=$\sqrt{2}$v₀
由牛頓第二的咯得：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$，
打在y軸上的距離為：-（r+rsin45°）=-$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
（3）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₁=$\frac{2h}{{v}_{0}}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
根據(jù)粒子入射磁場(chǎng)時(shí)與x軸成45°，射出磁場(chǎng)時(shí)垂直于y軸，
可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)的圓心角為135°．
故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=$\frac{3}{8}$T，
求出 t=t₁+t₂=$\frac{2h}{{v}_{0}}$+$\frac{3πm}{4qB}$；
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
（2）粒子通過磁場(chǎng)最后打在y軸的位置坐標(biāo)為（0，-$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
（3）粒子從進(jìn)入電場(chǎng)到離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的總時(shí)間t為$\frac{2h}{{v}_{0}}$+$\frac{3πm}{4qB}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查了電場(chǎng)和磁場(chǎng)邊界問題，不同場(chǎng)的分界面上，既是一種運(yùn)動(dòng)的結(jié)束，又是另一種運(yùn)動(dòng)的開始，尋找相關(guān)物理量尤其重要．
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來解決問題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．
點(diǎn)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)
圓心的確定：因洛倫茲力提供向心力，洛倫茲力總垂直于速度，畫出帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中任意兩點(diǎn)（一般是射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)）洛倫茲力的方向，其延長(zhǎng)的交點(diǎn)即為圓心．或射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)間弦的垂直平分線與一半徑的交點(diǎn)即為圓心．
半徑的確定：半徑一般都在確定圓心的基礎(chǔ)上用平面幾何知識(shí)求解，常常是解直角三角形．
運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定：利用圓心與弦切角的關(guān)系計(jì)算出粒子所轉(zhuǎn)過的圓心角θ的大小，用公式t=$\frac{θ}{360°}$T可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
再者就是要正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問題．