Question

6．如圖所示．兩根足夠長、電阻不計的平行光滑金屬導(dǎo)軌相距L，導(dǎo)軌平面與水平面成θ角，質(zhì)量均為m、阻值均為R的金屬棒a、b緊挨著放在兩導(dǎo)軌上，整個裝置處于垂直于導(dǎo)軌平面的勻強磁場中，磁場的磁感應(yīng)強度大小為B．a(chǎn)棒固定，b棒由靜止釋放，直至b棒剛好勻速時，a、b棒間距離為x，棒與導(dǎo)軌始終垂直并保持良好的接觸，重力加速度為g．求：
（1）最終b棒的運動速度；
（2）此過程中a棒產(chǎn)生的熱量Q₁；
（3）若a棒不再固定，在釋放b棒的同時，給a棒施加一平行于導(dǎo)軌向上的恒力F=2mgsinθ，當(dāng)b棒剛好勻速時，a、b棒間的距離為x₀，求此過程中a棒產(chǎn)生的熱量Q₂．

Answer 1

分析 （1）b棒剛好勻速時重力的功率等于回路的電功率，由此列式可求b棒的運動速度．
（2）根據(jù)能量守恒定律求出回路產(chǎn)生的總熱量，由串聯(lián)電路的特點求a棒產(chǎn)生的熱量Q₁；
（3）根據(jù)牛頓第二定律分析兩棒的速度同時達到最大．因a、b棒串聯(lián)，產(chǎn)生的熱量相同．根據(jù)功能關(guān)系列式，求解此過程中a棒產(chǎn)生的熱量Q₂．

解答 解：（1）設(shè)最終b棒的運動速度為v．
根據(jù)能量守恒定律得：
  mgsinθ•v=$\frac{{E}^{2}}{2R}$
又 b棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢 E=BLv
聯(lián)立得 v=$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）此過程中回路產(chǎn)生的總熱量為 Q=mgsinθ•x-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
a棒產(chǎn)生的熱量 Q₁=$\frac{1}{2}$Q
聯(lián)立解得 Q₁=$\frac{1}{2}$mgxsinθ-$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$
（3）b棒最終勻速，此時有：
 BIL=mgsinθ…①
又E=BL（v_a+v_b）…②
 I=$\frac{E}{2R}$…③
對a棒，由牛頓第二定律得：F-BIL-mgsinθ=ma₁
即 mgsinθ-BIL=ma₁ …④
對b棒，由牛頓第二定律得：mgsinθ-BIL=ma₂ …⑤
由⑧⑨式可得：a₁=a₂…⑥
故a、b棒運動規(guī)律相似，速度同時達到最大，且最終 v_a=v_b…⑦
由①②③⑦式可得：v_b=$\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
因a、b棒串聯(lián)，產(chǎn)生的熱量相同，設(shè)a、b棒在此過程中運動的距離分別為 x₁和x₂，對a、b棒組成的系統(tǒng)，由功能關(guān)系得：
 Fx₁+mgsinθ•x₂=$\frac{1}{2}•2m{v}_{a}^{2}$+mgsinθ•x₁+2Q₂；
又 x₁=x₂=$\frac{1}{2}$x₀；
解得：Q₂=$\frac{1}{2}$mgx₀sinθ-$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：
（1）最終b棒的運動速度為 $\frac{2mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）此過程中a棒產(chǎn)生的熱量Q₁是$\frac{1}{2}$mgxsinθ-$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$．
（3）此過程中a棒產(chǎn)生的熱量Q₂是$\frac{1}{2}$mgx₀sinθ-$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題分析b棒最終的運動狀態(tài)是解題的關(guān)鍵，要知道電磁感應(yīng)中感應(yīng)電量與棒通過的距離有關(guān)，能熟練推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，正確分析能量的轉(zhuǎn)化情況