Question

13．如圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L(zhǎng)．已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)．引力常數(shù)為G．則兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（m+M）}}$；
在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為T₁．但在近似處理問(wèn)題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期T₂．已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×10²⁴kg和7.35×10²²kg．則T₂與T₁兩者平方之比為1.01．（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 這是一個(gè)雙星的問(wèn)題，A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，A和B有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律解決問(wèn)題．

解答 解：（1）設(shè)兩個(gè)星球A和B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r和R，相互作用的萬(wàn)有引力大小為F，運(yùn)行周期為T．根據(jù)萬(wàn)有引力定律有：F=G$\frac{Mm}{（R+r）^{2}}$①
由勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得F=m（$\frac{2π}{T}$）²r  ②
  F=M（$\frac{2π}{T}$）²R  ③
由題意有 L=R+r  ④
聯(lián)立①②③④式得：T=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（m+M）}}$ ⑤
（2）在地月系統(tǒng)中，由于地月系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)所圍繞的中心O不在地心，由題意知，月球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期可由⑤式得出
  T₁=2π$\sqrt{\frac{L{′}^{3}}{G（M′+m′）}}$ ⑥
式中，M′和m′分別是地球與月球的質(zhì)量，L′是地心與月心之間的距離．若認(rèn)為月球在地球的引力作用下繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則G$\frac{M′m′}{L{′}^{2}}$=m′（$\frac{2π}{{T}_{2}}$）²L′⑦
式中，T₂為月球繞地心運(yùn)動(dòng)的周期．由⑦式得：
  T₂=2π$\sqrt{\frac{L{′}^{3}}{GM′}}$ ⑧
由⑥⑧式得：（$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$）²=1+$\frac{m′}{M′}$ ⑨
代入題給數(shù)據(jù)得：（$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}$）²=1.012  ⑩
故答案為：（1）2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（m+M）}}$；（2）1.01．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于雙星問(wèn)題，關(guān)鍵我們要抓住它的特點(diǎn)，即兩星球的萬(wàn)有引力提供各自的向心力和兩星球具有共同的周期．