Question

10．某天體A有兩個(gè)衛(wèi)星P和Q，在A的萬有引力作用下P和Q在同一平面內(nèi)繞A沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑之比為r_P：r_Q=1：4，如圖所示．
（1）衛(wèi)星P和Q的周期之比T_P：T_Q等于多少？
（2）若已知衛(wèi)星Q的周期T_Q，求從圖示位置（AP⊥AQ）開始，再過多長(zhǎng)時(shí)間P與Q第一次相遇（距離最近）．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力，由此列式得到周期的表達(dá)式，再求解周期之比．
（2）從圖示位置（AP⊥AQ）開始P與Q第一次相遇時(shí)P比Q多轉(zhuǎn)過$\frac{3}{4}$周，由此列式求解．

解答 解：（1）衛(wèi)星由A施加的萬有引力提供向心力，則
對(duì)于P：$\frac{G{M}_{A}{m}_{P}}{{r}_{P}^{2}}$=m_P$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{P}^{2}}{r}_{P}$
對(duì)于Q：$\frac{G{M}_{A}{m}_{Q}}{{r}_{Q}^{2}}$=m_Q$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{Q}^{2}}{r}_{Q}$
解得$\frac{{T}_{P}}{{T}_{Q}}$=$\sqrt{（\frac{{r}_{P}}{{r}_{Q}}）^{3}}$
得 T_P：T_Q=1：8   
（2）經(jīng)過時(shí)間t后P比Q多運(yùn)動(dòng)$\frac{3}{4}$周，即第一次相遇，則有
  $\frac{t}{{T}_{P}}$=$\frac{t}{{T}_{Q}}$+$\frac{3}{4}$
且8T_P=T_Q
得t=$\frac{3{T}_{Q}}{28}$
答：（1）衛(wèi)星P和Q的周期之比T_P：T_Q等于1：8．
（2）若已知衛(wèi)星Q的周期T_Q，從圖示位置（AP⊥AQ）開始，再過$\frac{3{T}_{Q}}{28}$時(shí)間P與Q第一次相遇．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵根據(jù)向心力來源列式，即可求出周期之比，也可以根據(jù)開普勒第三定律求周期之比．