Question

14．如圖所示，AB為粗糙水平面，長度AB=5R，其右端與光滑的半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧BC平滑相接，C點(diǎn)的切線沿豎直方向，在C點(diǎn)的正上方有一離C點(diǎn)高度也為R的旋轉(zhuǎn)平臺(tái)，沿平臺(tái)直徑方向開有兩具離心軸心距離相等的小孔P、Q，旋轉(zhuǎn)時(shí)兩孔均能達(dá)到C點(diǎn)的正上方，某時(shí)刻，質(zhì)量為m可看作質(zhì)點(diǎn)的滑塊，與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0，1，當(dāng)它以v₀=3$\sqrt{gR}$的速度由A點(diǎn)開始向B點(diǎn)滑行時(shí)：
（1）求滑塊通過C點(diǎn)的速度．
（2）若滑塊滑過C點(diǎn)后能通過P孔，又恰能從Q孔落下，則平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）利用動(dòng)能定理即可求的到達(dá)C點(diǎn)的速度
（2）滑塊穿過P孔做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由題意，滑塊滑過C點(diǎn)后正好穿過P孔，又恰能從Q孔落下，故應(yīng)在滑塊下落的時(shí)間內(nèi)，平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)半周的奇數(shù)倍．根據(jù)滑塊上拋的時(shí)間，求出平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的周期，即可求出角速度．

解答 解：由A到C由動(dòng)能定理可得：
$-μmg•5R-mgR=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{6gR}$
滑塊到達(dá)P處時(shí)速度為v_P，則有：
$-μmg•5R-mg•2R=\frac{1}{2}{mv}_{P}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
滑塊穿過P空再回到P的時(shí)間為：$t=\frac{2{v}_{P}}{g}$
要使小球從Q點(diǎn)穿過，則滿足：$ωt=（2n+1）π\(zhòng)\;\\;\\;n=0，1，2…$
聯(lián)立解得：$ω=\frac{π（2n+1）}{4}\sqrt{\frac{g}{R}}$（n=0，1，2…）
答（1）求滑塊通過C點(diǎn)的速度為$\sqrt{6gR}$．
（2）若滑塊滑過C點(diǎn)后能通過P孔，又恰能從Q孔落下，則平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)滿足$\frac{π（2n+1）}{4}\sqrt{\frac{g}{R}}$，n=1，2，3…

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒定律及動(dòng)能定理的應(yīng)用，在解題時(shí)要注意靈活選擇運(yùn)動(dòng)過程，對不同的過程應(yīng)用合適的物理規(guī)律；同時(shí)注意最后一問中的多解性．