Question

12．一根足夠長(zhǎng)的空心銅管豎直放置，使一枚直徑略小于銅管內(nèi)徑、質(zhì)量為m₀的圓柱形強(qiáng)磁鐵從管內(nèi)某處由靜止開(kāi)始下落，如圖所示，它不會(huì)做自由落體運(yùn)動(dòng)，而是非常緩慢地穿過(guò)銅管，在銅管內(nèi)下落時(shí)的最大速度為v₀．強(qiáng)磁鐵在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不與銅管內(nèi)壁發(fā)生摩擦，空氣阻力也可以忽略．產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因是變化的磁場(chǎng)在銅管內(nèi)激發(fā)出了渦流，渦流反過(guò)來(lái)又對(duì)強(qiáng)磁鐵產(chǎn)生了很大的阻力．雖然該情景中渦流的定量計(jì)算非常復(fù)雜，我們可以認(rèn)為強(qiáng)磁鐵下落過(guò)程中，銅管中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小與強(qiáng)磁鐵下落的速度成正比且強(qiáng)磁鐵周?chē)�銅管的有效電阻是恒定的．已知重力加速度為g，對(duì)下述問(wèn)題進(jìn)行分析．
（1）求圖中的強(qiáng)磁鐵達(dá)到最大速度后銅管的熱功率P₀；
（2）如果在圖中強(qiáng)磁鐵的上面粘一個(gè)質(zhì)量為m₁的絕緣橡膠塊，則強(qiáng)磁鐵下落的最大速度v₁是多大？
（3）若在圖中，質(zhì)量為m₀的強(qiáng)磁鐵從靜止下落，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后達(dá)到最大速度v₀，求此過(guò)程強(qiáng)磁鐵的下落高度h．

Answer 1

分析 （1）由強(qiáng)磁鐵受力平衡得到安培力，繼而得到克服安培力做功的功率即銅管的熱功率；
（2）首先由受力平衡得到安培力的表達(dá)式，然后對(duì)粘橡膠塊的情況進(jìn)行分析，即可根據(jù)受力平衡得到速度；
（3）先對(duì)強(qiáng)磁鐵進(jìn)行受力分析，然后對(duì)任一極短時(shí)間應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，繼而對(duì)其累加，得到整個(gè)過(guò)程的守恒式，即可解得下落高度．

解答 解：（1）強(qiáng)磁鐵只受安培力和重力作用，那么，強(qiáng)磁鐵達(dá)到最大速度后，必有安培力等于重力，所以，這時(shí)，任一極短時(shí)間，克服安培力做的功等于重力做的功；那么，銅管的熱功率等于重力做功的功率，所以，P₀=mgv₀；
（2）銅管中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小與強(qiáng)磁鐵下落的速度成正比且強(qiáng)磁鐵周?chē)�銅管的有效電阻是恒定的，則電流I與速度v成正比，
那么，強(qiáng)磁鐵受到的安培力F與速度v成正比，設(shè)為F=kv；
所以由（1）可得：m₀g=kv₀；
強(qiáng)磁鐵的上面粘一個(gè)質(zhì)量為m₁的絕緣橡膠塊，仍有強(qiáng)磁鐵下落速度最大時(shí)，受力平衡，即：m₀g+m₁g=kv₁；
所以，${v}_{1}=\frac{{（m}_{0}+{m}_{1}）g}{k}=\frac{{m}_{0}+{m}_{1}}{{m}_{0}}{v}_{0}$；
（3）任意時(shí)刻有F=kv，那么，強(qiáng)磁鐵受到的合外力為m₀g-kv，應(yīng)用動(dòng)量守恒定理可得：在極短時(shí)間△t內(nèi)，恒有（m₀g-kv）•△t=m₀•△v；
所以，對(duì)于質(zhì)量為m₀的強(qiáng)磁鐵從靜止下落，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后達(dá)到最大速度v₀的全過(guò)程有：m₀gt-kh=m₀v₀；
所以，$h=\frac{{m}_{0}gt-{m}_{0}{v}_{0}}{k}=\frac{{m}_{0}{v}_{0}（gt-{v}_{0}）}{{m}_{0}g}=\frac{（gt-{v}_{0}）{v}_{0}}{g}$；
答：（1）求圖中的強(qiáng)磁鐵達(dá)到最大速度后銅管的熱功率P₀為mgv₀；
（2）由此分析，如果在圖中強(qiáng)磁鐵的上面粘一個(gè)質(zhì)量為m₁的絕緣橡膠塊，則強(qiáng)磁鐵下落的最大速度v₁是$\frac{{m}_{0}+{m}_{1}}{{m}_{0}}{v}_{0}$；
（3）若在圖中，質(zhì)量為m₀的強(qiáng)磁鐵從靜止下落，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后達(dá)到最大速度v₀，求此過(guò)程強(qiáng)磁鐵的下落高度h為$\frac{（gt-{v}_{0}）{v}_{0}}{g}$．

點(diǎn)評(píng) 在求解閉合電路切割磁感線的問(wèn)題中，一般由速度得到電動(dòng)勢(shì)，進(jìn)而根據(jù)電路得到電流，最后得到安培力的表達(dá)式；對(duì)導(dǎo)體棒進(jìn)行受力分析，應(yīng)用牛頓第二定律，聯(lián)系導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求解問(wèn)題．