Question

5．一輕繩一端連接一小球，另一端固定在懸點上．開始時小球靜止在最低點，一方向水平的沖力作用到小球上使小球立刻獲得一個水平速度v₁，結果小球在豎直面內來回擺動，如圖中①．此后，當小球某次擺至最高點時，又有另一方向水平的沖力作用到小球上使小球立刻獲得另一個水平速度v₂，此后小球在水平面內做勻速圓周運動，如圖中②，而且運動過程中繩子的拉力大小與前面小球在擺動過程中繩子拉力的最大值相等．求：
（1）輕繩偏離豎直方向的最大夾角θ．
（2）速度v₁和速度v₂大小的比值$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$．

Answer 1

分析 小球開始在最低點，擺至最高點過程中，只有重力做功，機械能守恒，小球在最低點時繩子拉力最大，由牛頓第二定律建立等式，小球在水平面內做勻速圓周運動，繩子的拉力沿水平方向的分力提供向心力，由此可得．

解答 解：（1）設小球質量為m，繩子長度為l．小球擺動過程機械能守恒，則：$\frac{1}{2}$mv₁²=mgl（1-cosθ）
小球在最低點時繩子拉力最大F_m-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{l}$
聯(lián)立解得：F_m=mg（3-2cosθ）                
小球在水平面內做勻速圓周運動，有F_m=mgtanθ=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$             
圓周半徑：r=lsinθ                     
設繩子拉力為F，則mg=Fcosθ
又由題意可得：F_m=F
聯(lián)立以上各式解得：cosθ=0.5，即θ=60⁰；$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
答：（1）輕繩偏離豎直方向的最大夾角為60⁰；
（2）速度v₁和速度v₂大小的比值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題主要考查了向心力公式、機械能守恒定律的直接應用，要求同學們知道小球擺動至最高點時，繩子拉力最小，偏角最大，小球擺動至最低點時，繩子拉力最大，能夠從圖中讀出最大值和最小值，難度適中．