Question

如圖復(fù)16-6所示，軸豎直向上，平面是一絕緣的、固定的、剛性平面。在處放一帶電量為的小物塊，該物塊與一細線相連，細線的另一端穿過位于坐標(biāo)原點的光滑小孔，可通過它牽引小物塊�，F(xiàn)對該系統(tǒng)加一勻強電場，場強方向垂直與軸，與軸夾角為（如圖復(fù)16-6所示）。設(shè)小物塊和絕緣平面間的摩擦系數(shù)為,且靜摩擦系數(shù)和滑動摩擦系數(shù)相同。不計重力作用�，F(xiàn)通過細線來牽引小物塊，使之移動。在牽引過程中，我們約定：細線的端只準(zhǔn)沿軸向下緩慢移動，不得沿軸向上移動；小物塊的移動非常緩慢，在任何時刻，都可近似認(rèn)為小物塊處在力平衡狀態(tài)。若已知小物塊的移動軌跡是一條二次曲線，試求出此軌跡方程。

Answer 1

設(shè)所加勻強電場的場強為，它在方向和方向的分量分別為， 。

由于物塊帶負(fù)電，電場作用于物塊的電力的兩個分量分別為

                                 （1）

                                （2）

在平面內(nèi)，方向沿軸正方向．垂直于平面，被絕緣平面的支持力所平衡，故物塊對絕緣平面的正壓力的大小和的大小相等，即

          

絕緣平面作用于物塊的摩擦力

                  （3）

的方向決定于物塊移動的方向．

根據(jù)題意，物塊在平面內(nèi)的運動可看做是一種在力平衡下的緩慢移動．作用于物塊的三個力、和線的拉力都在平面內(nèi)．物塊在任一位置達到平衡時的受力情況如圖預(yù)解16-6所示。為細線與軸的夾角。把沿和方向分解得

               

用和表示的兩個分量，物塊平衡時，有

               （4）

                  （5）

由（4）、（5）式得

注意到（3）式，得

得              或                                （6）

因要小物塊緩慢移動，需要細線牽引，不符合題意，應(yīng)舍去．因，，將代入（4）、（5）式，

有

 

摩擦力方向的斜率

                                      （7）

是摩擦力方向與軸夾角的正切，即摩擦力方向的斜率，因摩擦力始終沿軌道的切線方向，故也就是軌道切線的斜率．下面，通過對（7）式的分析來尋找軌道方程．

當(dāng)中一0，k－co即在起點A時，軌道的切線與x軸垂直

當(dāng)，，即在起點時，軌道的切線與軸垂直。

當(dāng)，，一種情況是小物塊運動到軸上后，沿軸做直線運動到點，但這與題設(shè)軌跡移動是一條二次曲線不符，因而它一定表示軌道在點的切線與軸垂直．

在二次曲線中，曲線上兩點切線相互平行的只有橢圓或圓．又因為、兩點的切線與它們的連線相垂直，這連線應(yīng)為曲線的軸線，且在軸上，另一軸在它的垂直平分線上且與軸平行。曲線與此軸線的交點的切線的斜率為0.代入（7）式得，故該曲線為圓，其方程為

                                             （8）