Question

14．如圖所示，邊長為L的正方形PQMN區(qū)域內(nèi)（含邊界）有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，左側(cè)有水平向右的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E．質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從O點(diǎn)由靜止開始釋放，OPQ三點(diǎn)在同一水平直線上，OP=L，帶電粒子恰好從M點(diǎn)離開磁場，不計(jì)帶電粒子重力，求：
（1）粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間；
（2）若磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度可調(diào)節(jié)（不考慮磁場變化產(chǎn)生的電磁感應(yīng)），帶電粒子從邊界NM上的O′點(diǎn)離開磁場，O′與N點(diǎn)距離為$\frac{L}{3}$，求磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的可能數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場中做加速運(yùn)動(dòng)，在磁場中做運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理及向心力公式列式，聯(lián)立方程即可求解B，根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)位移時(shí)間公式求出粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式求出在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，兩者之和即為總時(shí)間；
（2）設(shè)出粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)半徑與L的關(guān)系并結(jié)合幾何關(guān)系求出半徑，再根據(jù)向心力公式求出磁場強(qiáng)度．

解答 解：（1）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)速度大小為v，
由動(dòng)能定理得：$qEL=\frac{1}{2}m{v^2}$，
粒子在云強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑r=L，
由牛頓第二定律得：$qvB=m\frac{v^2}{r}$，
解得：$B=\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$；
設(shè)粒子在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，有：$L=\frac{qE}{2m}t_1^2$，${t_1}=\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期：$T=\frac{2πm}{qB}$，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t_2}=\frac{1}{4}T$，
解得：${t_2}=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{mL}{2qE}}$，
粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M經(jīng)歷的時(shí)間：$t={t_1}+{t_2}=\frac{4+π}{4}\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
（2）若粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r₁，且r₁＜L＜2r₁
由幾何關(guān)系得：${（L-{r_1}）^2}+{（\frac{L}{3}）^2}=r_1^2$，
解得：${r_1}=\frac{5}{9}L$，
由牛頓第二定律得：$qv{B_1}=m\frac{v^2}{r_1}$，
解得：${B_1}=\frac{9}{5}\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$，
若2r₂＜L＜4r₂，${（3{r_2}-L）^2}+{（\frac{L}{3}）^2}=r_2^2$，
解得：${r_2}^′=\frac{L}{3}$${B_2}^′=3\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$，
r₂″=$\frac{5L}{12}$，
B₂″=$\frac{12}{5}$$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$，
磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的可能數(shù)值為：
${B_1}=\frac{9}{5}\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$${B_2}^′=3\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$，
B₂″=$\frac{12}{5}$$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$；
答：（1）粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{4+π}{4}$$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
（2）磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的可能數(shù)值為：$\frac{9}{5}$$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$、3$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$、$\frac{12}{5}$$\sqrt{\frac{2mE}{qL}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動(dòng)的問題，知道帶電粒子在電場中做勻加速運(yùn)動(dòng)，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并能結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度適中．