Question

8．用如圖所示的裝置將面粉袋從a處經(jīng)b點送往c處，傳送帶沿圖示方向運動，速率為v=13.0m/s．其中$\overline{ab}$=5.0m，$\overline{bc}$=24.0m，$\overline{ca}$≈28m，bc與水平面的夾角α=37°．現(xiàn)將一袋面粉無初速地放到皮帶上的a處，面粉袋與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ=0.25，面粉袋在運動過程中一直沒有脫離皮帶，通過b點時速度大小不變．在運送過程中，面粉有少許漏出，深色傳送帶上留下白色的痕跡．計算時可忽略轉動輪及面粉袋的大小，已知$\sqrt{409}$≈21．求：
（1）將面粉袋從a處送到c處所用的時間t；
（2）要在皮帶上留下最長的面粉痕跡，皮帶勻速運動的最小速度v．

Answer 1

分析 （1）物塊在水平方向加速，計算出與皮帶相對靜止時相對地面滑行的距離，再判斷是否有勻速過程；在傳送帶上滑行過程，先根據(jù)牛頓第二定律求解出加速度，然后根據(jù)運動學公式列式計算
（2）要在皮帶上留下最長的面粉痕跡，則面粉袋達到c點時，速度剛好相同，此時根據(jù)速度位移公式求得即可

解答 解：A先在傳送帶上滑行一段距離，此時A做勻加速運動（相對地面），直到A與傳送帶勻速運動的速度相同為止，此過程A的加速為a₁，則：
μmg=ma₁
得：a₁=μg=2.5m/s²
A做勻加速運動的時間 是：t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{13}{2.5}s=5.2s$
這段時間內(nèi)A對地的位移是：s₁=v_平•t₁=$\frac{v}{2}t=\frac{13}{2}×5.2m=33.8m＞5.0m$，
故面粉袋在水平方向一直加速，則${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，解得$t=\sqrt{\frac{2{x}_{1}}{a}}=\sqrt{\frac{2×5}{2.5}}s=2s$
達到的速度v′=at=5m/s
在bc段，由于開始時面粉袋的速度小于傳送帶的速度，根據(jù)牛頓第二定律可知mgsin37°+μmgcos37°=ma₂
解得a₂=g（sin37°+μcos37°）=10×（0.6+0.25×0.8）=8m/s²
達到共同速度所需時間為${t}_{2}=\frac{v-v′}{{a}_{2}}=\frac{13-5}{8}s=1s$
1s內(nèi)面粉袋下滑的位移$x′=v′{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}t{′}^{2}=5×1+\frac{1}{2}×8×{1}^{2}$m=9m＜24m
由于μ=0.25＜tan37°=0.75，達到共同速度之后，A在bc段將沿傾斜部分繼續(xù)加速下滑，此時A受到的為滑動摩擦力，大小為μmgcos37°，方向沿傳送帶向上，A在傳送帶的傾斜部分以加速度a₃向下勻加速運動，由牛頓第二定律：
mgsin37°-μmgcos37°=ma₃
解得：a₃=g（sin37°-μcos37°）=10×（0.6-0.25×0.8）=4m/s²
由運動學公式x₂-x′=vt₃+$\frac{1}{2}$a₃ t₃²
解得：t₃=1s
物塊從a到c端所用時間為t：
t=t₁+t₂+t₃=2+1+1=4s
（2）要在皮帶上留下最長的面粉痕跡，則面粉袋到達c點時，剛好和傳送帶具有相同的速度，則
在bc段，根據(jù)速度位移公式可知${2{a}_{2}x}_{2}={v}^{2}-v{′}^{2}$
解得v=21m/s
答：（1）將面粉袋從a處送到c處所用的時間t為4s；
（2）要在皮帶上留下最長的面粉痕跡，皮帶勻速運動的最小速度v為21m/s

點評 本題關鍵要分析出物體的運動情況，然后根據(jù)牛頓第二定律求解出各段的加速度，最后根據(jù)運動學公式列式求解．