Question

8．用如圖所示的裝置將面粉袋從a處經(jīng)b點(diǎn)送往c處，傳送帶沿圖示方向運(yùn)動(dòng)，速率為v=13.0m/s．其中$\overline{ab}$=5.0m，$\overline{bc}$=24.0m，$\overline{ca}$≈28m，bc與水平面的夾角α=37°．現(xiàn)將一袋面粉無(wú)初速地放到皮帶上的a處，面粉袋與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.25，面粉袋在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中一直沒(méi)有脫離皮帶，通過(guò)b點(diǎn)時(shí)速度大小不變．在運(yùn)送過(guò)程中，面粉有少許漏出，深色傳送帶上留下白色的痕跡．計(jì)算時(shí)可忽略轉(zhuǎn)動(dòng)輪及面粉袋的大小，已知$\sqrt{409}$≈21．求：
（1）將面粉袋從a處送到c處所用的時(shí)間t；
（2）要在皮帶上留下最長(zhǎng)的面粉痕跡，皮帶勻速運(yùn)動(dòng)的最小速度v．

Answer 1

分析 （1）物塊在水平方向加速，計(jì)算出與皮帶相對(duì)靜止時(shí)相對(duì)地面滑行的距離，再判斷是否有勻速過(guò)程；在傳送帶上滑行過(guò)程，先根據(jù)牛頓第二定律求解出加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式計(jì)算
（2）要在皮帶上留下最長(zhǎng)的面粉痕跡，則面粉袋達(dá)到c點(diǎn)時(shí)，速度剛好相同，此時(shí)根據(jù)速度位移公式求得即可

解答 解：A先在傳送帶上滑行一段距離，此時(shí)A做勻加速運(yùn)動(dòng)（相對(duì)地面），直到A與傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度相同為止，此過(guò)程A的加速為a₁，則：
μmg=ma₁
得：a₁=μg=2.5m/s²
A做勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 是：t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{13}{2.5}s=5.2s$
這段時(shí)間內(nèi)A對(duì)地的位移是：s₁=v_平•t₁=$\frac{v}{2}t=\frac{13}{2}×5.2m=33.8m＞5.0m$，
故面粉袋在水平方向一直加速，則${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，解得$t=\sqrt{\frac{2{x}_{1}}{a}}=\sqrt{\frac{2×5}{2.5}}s=2s$
達(dá)到的速度v′=at=5m/s
在bc段，由于開(kāi)始時(shí)面粉袋的速度小于傳送帶的速度，根據(jù)牛頓第二定律可知mgsin37°+μmgcos37°=ma₂
解得a₂=g（sin37°+μcos37°）=10×（0.6+0.25×0.8）=8m/s²
達(dá)到共同速度所需時(shí)間為${t}_{2}=\frac{v-v′}{{a}_{2}}=\frac{13-5}{8}s=1s$
1s內(nèi)面粉袋下滑的位移$x′=v′{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}t{′}^{2}=5×1+\frac{1}{2}×8×{1}^{2}$m=9m＜24m
由于μ=0.25＜tan37°=0.75，達(dá)到共同速度之后，A在bc段將沿傾斜部分繼續(xù)加速下滑，此時(shí)A受到的為滑動(dòng)摩擦力，大小為μmgcos37°，方向沿傳送帶向上，A在傳送帶的傾斜部分以加速度a₃向下勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律：
mgsin37°-μmgcos37°=ma₃
解得：a₃=g（sin37°-μcos37°）=10×（0.6-0.25×0.8）=4m/s²
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式x₂-x′=vt₃+$\frac{1}{2}$a₃ t₃²
解得：t₃=1s
物塊從a到c端所用時(shí)間為t：
t=t₁+t₂+t₃=2+1+1=4s
（2）要在皮帶上留下最長(zhǎng)的面粉痕跡，則面粉袋到達(dá)c點(diǎn)時(shí)，剛好和傳送帶具有相同的速度，則
在bc段，根據(jù)速度位移公式可知${2{a}_{2}x}_{2}={v}^{2}-v{′}^{2}$
解得v=21m/s
答：（1）將面粉袋從a處送到c處所用的時(shí)間t為4s；
（2）要在皮帶上留下最長(zhǎng)的面粉痕跡，皮帶勻速運(yùn)動(dòng)的最小速度v為21m/s

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要分析出物體的運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)牛頓第二定律求解出各段的加速度，最后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解．