Question

19．如圖所示，質量M=2kg，半徑R=0.3m的四分之一豎直光滑圓弧槽，靜置在光滑水平面上，槽的末端和水平面相切，一質量m=1kg，可視為質點的光滑小球，以初速度v₀沖上圓弧槽，g=10m/s²，求：
（1）若槽固定在水平面上，要使小球恰好到達槽的最上端A點，v₀應為多少
（2）若槽不固定，要使小球恰好到達槽的最上端A點，v₀應為多少
（3）若槽不固定，當v₀=6m/s時，圓弧槽最終獲得的速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理，抓住小球到達最高點的速度為零，求出初速度的大�。�
（2）若槽不固定，小球到達最高點時與槽共速，在水平方向上動量守恒，結合動量守恒和機械能守恒求出初速度的大�。�
（3）根據(jù)動量守恒和能量守恒求出圓弧槽最終獲得的速度．

解答 解：（1）對小球，利用動能定理：-mgR=0-$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$．
得：${v}_{0}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.3}$m/s=$\sqrt{6}m/s$．
（2）小球恰好到達A點時，水平方向和槽共速，豎直方向速度為0．對系統(tǒng)，
規(guī)定小球的初速度方向為正方向，由動量守恒定律：mv₀=（M+m）v，
由能量守恒定律：$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得：v₀=3m/s．
（3）當v₀=6m/s時，小球到達A點時，水平方向仍和槽共速，故小球從A點離開槽后，還能再次從A點落回槽，并最終從槽的左側離開槽．對系統(tǒng)：
規(guī)定小球的初速度方向為正方向，由動量守恒定律：mv₀=mv₁+Mv₂，
由能量守恒定律：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{2}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{m+M}=\frac{2×1×6}{1+2}=4m/s$，方向向右．
答：（1）v₀應為$\sqrt{6}m/s$；
（2）v₀應為3m/s．
（3）圓弧槽最終獲得的速度為4m/s．

點評 本題考查了動量守恒和能量守恒的綜合運用，綜合性較強，對學生的能力要求較高，知道當槽不固定，小球恰好到達最高點時，兩者具有共同的速度．