Question

5．在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，二三象限均在勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向與y軸正方向成θ=45°，在一四象限存在垂直于直面向外的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d，在第三象限有一粒子發(fā)射源，沿MO的方向發(fā)射一系列的初速度為零的粒子，粒子的質(zhì)量為m，電荷量為+q，若粒子發(fā)射源M的坐標(biāo)為（-d，-d）時(shí)，發(fā)出的粒子剛好垂直于邊界AB離開磁場(chǎng)，如果發(fā)射源的位于MO連線上的N點(diǎn)時(shí)，如圖所示的位置，發(fā)出的粒子剛好不能從AB邊界離開磁場(chǎng)，忽略粒子的重力，求：
（1）二三象限電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（2）發(fā)射源位于N點(diǎn)時(shí)，粒子從發(fā)出到第二次離開電場(chǎng)所用的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子先在電場(chǎng)中加速，后進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．先畫出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系求解出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，由牛頓第二定律求出粒子的速率，再由動(dòng)能定理求解電場(chǎng)強(qiáng)度大�。�
（2）第二次從N點(diǎn)出發(fā)的粒子剛好不能從AB邊界離開磁場(chǎng)，其軌跡與AB相切，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系求解出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，由牛頓第二定律求出粒子的速率，再由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間要根據(jù)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求出．
粒子第二次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)做類平拋運(yùn)動(dòng)，將其運(yùn)動(dòng)分解成沿電場(chǎng)和垂直于電場(chǎng)兩個(gè)方向，當(dāng)粒子第二次離開電場(chǎng)時(shí)兩個(gè)方向的分位移大小相等，據(jù)此列式求出電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而可得到總時(shí)間．

解答 解：（1）據(jù)題意畫出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖1所示．由幾何關(guān)系得粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑 r=$\sqrt{2}$d
在磁場(chǎng)中，由洛倫茲力提供向心力，則有
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
聯(lián)立解得 v=$\frac{\sqrt{2}qBd}{m}$
在電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理得：qE•$\sqrt{2}$d=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 E=$\frac{\sqrt{2}q{B}^{2}d}{2m}$
（2）第二次從N點(diǎn)出發(fā)的粒子剛好不能從AB邊界離開磁場(chǎng)，其軌跡與AB相切，作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示，設(shè)粒子的軌跡半徑為R．
由幾何關(guān)系得：Rcos45°+R=d
得 R=（2-$\sqrt{2}$）d
由 qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$得 v′=$\frac{（2-\sqrt{2}）qBd}{m}$
粒子在電場(chǎng)中的加速度 a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{\sqrt{2}{q}^{2}{B}^{2}d}{2{m}^{2}}$
由 v′=at₁，得 t₁=$\frac{v′}{a}$=$\frac{（4-2\sqrt{2}）m}{qB}$；
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期 T=$\frac{2πm}{qB}$，時(shí)間 t₂=$\frac{3}{4}•$T=$\frac{3πm}{2qB}$；
粒子第二進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)做類平拋運(yùn)動(dòng)，將其運(yùn)動(dòng)分解成沿電場(chǎng)和垂直于電場(chǎng)兩個(gè)方向，當(dāng)粒子第二次離開電場(chǎng)時(shí)兩個(gè)方向的分位移大小相等，則得
  v′t₃=$\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$
解得 t₃=$\frac{2v′}{a}$=$\frac{4（\sqrt{2}-1）m}{qB}$
故發(fā)射源位于N點(diǎn)時(shí)，粒子從發(fā)出到第二次離開電場(chǎng)所用的總時(shí)間 t=t₁+t₂+t₃=$\frac{[4（3\sqrt{2}-4）+3π]m}{2qB}$
答：（1）二三象限電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小是$\frac{\sqrt{2}q{B}^{2}d}{2m}$；
（2）發(fā)射源位于N點(diǎn)時(shí)，粒子從發(fā)出到第二次離開電場(chǎng)所用的總時(shí)間為$\frac{[4（3\sqrt{2}-4）+3π]m}{2qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓第二定律即可正確解題．