Question

17．如圖所示，用內(nèi)壁光滑的薄壁細圓管彎成的由半圓形APB（圓半徑比細管的內(nèi)徑大得多）和直線BC組成的軌道固定在水平桌面上，已知APB部分的半徑R=1.0m，BC段長L=1.5m．彈射裝置將一個小球（可視為質(zhì)點）以v₀=5m/s的水平初速度從A點彈入軌道，小球從C點離開軌道隨即水平拋出，落地點D離開C的水平距離s=2.5m，不計空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球在半圓軌道上運動時的角速度ω和加速度a的大�。�
（2）小球從A點運動到C點的時間t；
（3）小球落地時速度的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球在半圓形APB管內(nèi)做勻速圓周運動時，角速度ω=$\frac{{v}_{0}}{R}$，加速度a=ωv₀．根據(jù)牛頓第二定律求出圓管對小球的作用力大��；
（2）小球從A到B的時間t₁=$\frac{πR}{{v}_{0}}$，從B到C做勻速直線運動，時間為${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{0}}$．
（3）根據(jù)動能定理求出小球?qū)⒁�落到地面上D點時的速度大�。�

解答 解：（1）小球在半圓形APB管內(nèi)做勻速圓周運動時，角速度為：
ω=$\frac{{v}_{0}}{R}$=$\frac{5}{1}rad/s=5rad/s$，
加速度為：a=ωv₀=5×5m/s²=25m/s²．
根據(jù)牛頓第二定律得，圓管對小球的作用力大小F=ma=25N．
（2）小球從A到B的時間為：t₁=$\frac{πR}{{v}_{0}}$=$\frac{3.14×1}{5}s═0.628s$，
從B到C做勻速直線運動，時間為：${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{1.5}{5}s=0.3s$
故小球從A點運動到C點的時間為：t=t₁+t₂=0.928s；
（3）對于平拋運動過程，根據(jù)動能定理得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v=5$\sqrt{2}$m/s；
由cosθ=$\frac{5}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$可知，夾角為45°；
答：（1）小球在半圓軌道上運動時的角速度ω是5rad/s，向心加速度a的大小為25m/s²．圓管對小球的作用力大小是25N；
（2）小球從A點運動到C點的時間t是0.928s；
（3）小球?qū)⒁�落到地面上D點時的速度大小是5$\sqrt{2}$m/s，方向與水平方向成45°．

點評 本題是勻速圓周運動、勻速直線運動和平拋運動的組合，記住勻速圓周運動的角速度、加速度等等公式，就可以輕松解答．