Question

6．如圖所示，已知傾角為θ=45°、高為h的斜面固定在水平地面上．一小球從高為H（h＜H＜$\frac{5}{4}$h）處自由下落，與斜面做無能量損失的碰撞后水平拋出．小球自由下落的落點距斜面左側的水平距離x滿足一定條件時，小球能直接落到水平地面上．重力加速度為g，求
（1）小球自由下落的落地距離斜面左側的水平距離為x₀時，小球落到斜面上時的速度大��；
（2）小球落到水平地面上的速度大小；
（3）小球與斜面碰撞一次則落地可能運動的最長時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關系求出自由下落的高度，結合速度位移公式求出小球落到斜面上的速度大�。�
（2）對整個過程運用機械能守恒，求出小球落到水平地面上的速度大�。�
（3）根據(jù)運動學公式求出自由下落和平拋運動的時間表達式，通過數(shù)學知識求出時間的最大值．

解答 解：（1）小球自由下落的落地距離斜面左側的水平距離為x₀時，根據(jù)幾何關系得，小球自由下落的高度h′=H-（h-x₀）=H-h+x₀，
根據(jù)${v}_{1}=\sqrt{2gh′}$=$\sqrt{2g（H-h+{x}_{0}）}$．
（2）根據(jù)機械能守恒定律得，mgH=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
小球落地的速度v=$\sqrt{2gH}$．
（3）小球自由下落的高度h₁=H-h+x，則自由下落的時間${t}_{1}=\sqrt{\frac{2{h}_{1}}{g}}=\sqrt{\frac{2（H-h+x）}{g}}$，
小球平拋運動的高度h₂=h-x，則平拋運動的時間${t}_{2}=\sqrt{\frac{2{h}_{2}}{g}}=\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$，
小球運動的總時間t=t₁+t₂=$\sqrt{\frac{2（H-h+x）}{g}}+\sqrt{\frac{2（h-x）}{g}}$，
${t}^{2}=\frac{2H}{g}+\frac{4\sqrt{（H-h+x）（h-x）}}{g}$，當H-h+x=h-x，即x=h-$\frac{H}{2}$時，小球運動時間最長，
代入解得${t}_{m}=2\sqrt{\frac{H}{g}}$．
答：（1）小球落到斜面上時的速度大小為$\sqrt{2g（H-h+{x}_{0}）}$．
（2）小球落到水平地面上的速度大小為$\sqrt{2gH}$．
（3）小球與斜面碰撞一次則落地可能運動的最長時間為$2\sqrt{\frac{H}{g}}$．

點評 本題是機械能守恒與自由落體運動、平拋運動的綜合，既要把握每個過程的物理規(guī)律，更要抓住它們之間的聯(lián)系，比如幾何關系，運用數(shù)學上函數(shù)法求解極值．