Question

2．一圓環(huán)A套在一均勻圓木棒B上，A的高度相對B的長度來說可以忽略不計(jì)，A和B的質(zhì)量都等于m，A和B之間的滑動摩擦力為f（f＜mg）．開始時(shí)B豎直放置，下端離地面高度為h，A在B的頂端，如圖所示，讓它們由靜止開始一起自由下落，當(dāng)木棒與地面相碰后，木棒以豎直向上的速度反向運(yùn)動，并且碰撞前后的速度大小相等．設(shè)碰撞時(shí)間很短，不考慮空氣阻力，問：
①木棒剛落到地板瞬間的速度大小為多少？
②若在B再次著地前，A不脫離B，則B與地面碰撞后向上運(yùn)動到再次落回地面所需時(shí)間為多少？
③在B再次著地前，要使A不脫離B，B至少多長？

Answer 1

分析 ①木棒做自由落體運(yùn)動，由自由落體運(yùn)動的速度位移公式可以求出落地速度．
②根據(jù)牛頓第二定律求出木棒彈起豎直上升過程中木棒和環(huán)的加速度，環(huán)在木棒上升及下落的全過程中一直處于加速運(yùn)動狀態(tài)，所以木棒從向上彈起到再次著地的過程中，棒與環(huán)的加速度均保持不變，應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動的速度公式求出運(yùn)動時(shí)間．
③勻變速直線運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)公式求出這段時(shí)間內(nèi)環(huán)運(yùn)動的位移即可棒的最小長度．

解答 解：①木棒做自由落體運(yùn)動，由速度位移公式得，落地速度：v₀=$\sqrt{2gh}$；
②木棒彈起豎直上升過程中，根據(jù)牛頓第二定律，
對木棒：f+mg=ma₁，解得：a₁=$\frac{mg+f}{m}$，方向：豎直向下，
對環(huán)：mg-f=ma₂，解得：a₂=$\frac{mg-f}{m}$，方向豎直向下，
環(huán)在木棒上升及下落的全過程中一直處于加速運(yùn)動狀態(tài)，
所以木棒從向上彈起到再次著地的過程中，棒與環(huán)的加速度均保持不變，木棒反彈后再落地需要的時(shí)間為：
t=$\frac{2{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{2m{v}_{0}}{mg+f}$；
③木棒與地面碰撞后再次落回地面過程中，環(huán)運(yùn)動的位移為：
x=v₀t+$\frac{1}{2}$a₂t²，
要使環(huán)不碰地面，則要求木棒的長度不小于x，即L≥x，
解得：L≥$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}h}{（mg+f）^{2}}$；
答：①木棒剛落到地板瞬間的速度大小為$\sqrt{2gh}$；
②若在B再次著地前，A不脫離B，則B與地面碰撞后向上運(yùn)動到再次落回地面所需時(shí)間為$\frac{2m{v}_{0}}{mg+f}$；
③在B再次著地前，要使A不脫離B，B的長度至少為$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}h}{（mg+f）^{2}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了牛頓第二定律以及運(yùn)動學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析棒和環(huán)的運(yùn)動情況，知道棒和環(huán)的運(yùn)動時(shí)間相等，再抓住位移關(guān)系求解，難度適中．