Question

19．如圖所示，一條不可伸長(zhǎng)的輕繩長(zhǎng)為R，一端懸于天花板上的O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）．現(xiàn)有一個(gè)高為h，質(zhì)量為M的平板車P，在其左端放有一個(gè)質(zhì)量也為m的小物塊Q（可視為質(zhì)點(diǎn)），小物塊Q正好處在懸點(diǎn)O的正下方，系統(tǒng)靜止在光滑水平面地面上．今將小球拉至懸線與豎直位置成60°角，由靜止釋放，小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)剛好與Q發(fā)生正碰，碰撞時(shí)間極短，且無(wú)能量損失．已知Q離開(kāi)平板車時(shí)的速度大小是平板車速度的兩倍，Q與P之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，M：m=4：1，重力加速度為g．求：
（1）小物塊Q離開(kāi)平板車時(shí)速度為多大？
（2）平板車P的長(zhǎng)度為多少？
（3）小物塊Q落地時(shí)距小球的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）小球下擺過(guò)程中，細(xì)線拉力不做功，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求出小球與Q碰撞前的速度大小；小球與小物塊Q碰撞過(guò)程，時(shí)間極短，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，動(dòng)量守恒，動(dòng)能也守恒，由此列式，求出碰后兩者的速度；Q在P上滑行時(shí)，小物塊Q與小車系統(tǒng)受到的外力的合力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律求Q離開(kāi)平板車時(shí)的速度．
（2）根據(jù)功能關(guān)系：P、Q系統(tǒng)減小的機(jī)械能等于產(chǎn)生的內(nèi)能，而內(nèi)能等于滑動(dòng)摩擦力與相對(duì)路程的乘積，求解P的長(zhǎng)度．
（3）以地面為參考系，物塊Q在小車上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)平板車后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解Q落地時(shí)距小球的水平距離．

解答 解：（1）設(shè)小球即將與物塊Q碰撞前的速度為v₀，小球由初始位置擺動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律可得：
 mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v_0}=\sqrt{gR}$
設(shè)碰撞后小球速度為v₁，物塊Q速度為v₂，由于小球與物塊Q是彈性碰撞，所以碰撞過(guò)程滿足機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒，取向右為正方向，則得：$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2$
  mv₀=mv₁+mv₂
兩式聯(lián)立可得：v₁=0，${v_2}={v_0}=\sqrt{gR}$
即：速度交換，小球速度變?yōu)榱�，Q獲得速度v₀．
設(shè)Q離開(kāi)平板車時(shí)的速度大小為v，則平板車速度為$\frac{1}{2}v$，物塊Q在小車上滑行的過(guò)程中，由動(dòng)量守恒定律可得：
  $m{v_2}=mv+M×\frac{1}{2}v$
又 M：m=4：1
可得：$v=\frac{1}{3}\sqrt{gR}$
（2）設(shè)平板車的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，由題意可得物塊Q在小車上滑行時(shí)，一部分動(dòng)能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能，所以有：$\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}M{（\frac{1}{2}v）^2}=μmgL$
可得：$L=\frac{7R}{18μ}$
（3）由題意可得，以地面為參考系，物塊Q在小車上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度為a，運(yùn)動(dòng)的位移為s₁，離開(kāi)平板車后做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，水平位移為s₂．
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得：$a=\frac{μmg}{m}=μg$
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得 ${v^2}-v_0^2=-2a{s_1}$
Q離開(kāi)平板車后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有 $h=\frac{1}{2}g{t^2}$，s₂=vt
聯(lián)立可得：物塊運(yùn)動(dòng)的水平位移為 ${s_1}+{s_2}=\frac{4R}{9μ}+\frac{1}{3}\sqrt{2Rh}$
由于小球與物塊Q碰后處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以小物塊Q落地時(shí)距小球的水平距離即為物塊運(yùn)動(dòng)的水平位移：${s_1}+{s_2}=\frac{4R}{9μ}+\frac{1}{3}\sqrt{2Rh}$
答：
（1）小物塊Q離開(kāi)平板車時(shí)速度為$\frac{1}{3}\sqrt{gR}$．
（2）平板車P的長(zhǎng)度為$\frac{7R}{18μ}$．
（3）小物塊Q落地時(shí)距小球的水平距離為$\frac{4R}{9μ}$+$\frac{1}{3}\sqrt{2Rh}$．

點(diǎn)評(píng) 本題采用程序法，逐一分析物體間的相互作用過(guò)程，分析得到物體間相互作用時(shí)滿足的規(guī)律：動(dòng)量守恒、能量守恒等，進(jìn)而求出要求的物理量．