Question

3．在水平光滑的絕緣桌面內(nèi)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，將第Ⅰ、第Ⅱ象限合稱為區(qū)域一，第Ⅲ、Ⅳ象限合稱為區(qū)域二，其中一個(gè)區(qū)域內(nèi)有大小、方向均未標(biāo)明的勻強(qiáng)電場(chǎng)，另一個(gè)區(qū)域內(nèi)有大小為2×10^-2T、方向垂直于水平桌面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．把一個(gè)比荷為$\frac{q}{m}$=2×10⁸C/kg的正電荷從坐標(biāo)為（0，-1）的A點(diǎn)處由靜止釋放，電荷沿直線AC運(yùn)動(dòng)并從坐標(biāo)為（1，0）的C點(diǎn)第一次經(jīng)x軸進(jìn)入?yún)^(qū)域一，經(jīng)過一段時(shí)間，從坐標(biāo)原點(diǎn)0再次回到區(qū)域二（重力不計(jì)）．
（1）指出哪個(gè)區(qū)域是電場(chǎng)、哪個(gè)區(qū)域是磁場(chǎng)以及電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向；
（2）求電荷在磁場(chǎng)里作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r和勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（3）求從釋放到第二次經(jīng)過x軸電荷運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）由A靜止釋放到C的運(yùn)動(dòng)可知區(qū)域二是電場(chǎng)，區(qū)域一為磁場(chǎng)；由運(yùn)動(dòng)方向可判斷電場(chǎng)和磁場(chǎng)的方向．
（2）電荷在區(qū)域二中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入?yún)^(qū)域一后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小．
（3）電荷從坐標(biāo)原點(diǎn)O第二次經(jīng)過x軸進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，速度方向與電場(chǎng)方向垂直，電荷在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直于電場(chǎng)的方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)可求解．

解答 解：（1）由對(duì)電荷的運(yùn)動(dòng)描述可知區(qū)域一是磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里．區(qū)域二是電場(chǎng)，方向由A指向C．
（2）設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，電荷從C點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ的速度為v．從A到C電荷做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且過C點(diǎn)時(shí)速度方向與x軸正方向成45°角，則有：v²=2as=2$\frac{qE}{m}$s
電荷進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ后，在洛侖茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
由題意及幾何關(guān)系有：
$\frac{q}{m}$=2×10⁸，B=2×10^-2T，s=$\sqrt{2}$m  r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m
由以上各式可得：E=$\sqrt{2}$×10⁴V/m
（3）電荷從坐標(biāo)原點(diǎn)O第二次經(jīng)過x軸進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，速度方向與電場(chǎng)方向垂直，電荷在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t電荷第三次經(jīng)過x軸．有：
tan45°=$\frac{\frac{1}{2}a{t}^{2}}{vt}$
解得：t=2.18×10^-6s
答：（1）區(qū)域一是磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里．區(qū)域二是電場(chǎng)，方向由A指向C．
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為$\sqrt{2}$×10⁴V/m；
（3）從釋放到第二次經(jīng)過x軸電荷運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為2.18×10^-6s．

點(diǎn)評(píng) 粒子進(jìn)入有邊界的磁場(chǎng)，由于邊界條件的不同，而出現(xiàn)涉及臨界狀態(tài)的臨界問題，可以根據(jù)邊界條件確定粒子的軌跡、半徑、在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等．解決此類問題常用的方法：畫圖→動(dòng)態(tài)分析→找軌跡．（這類題目關(guān)鍵是作圖，圖畫準(zhǔn)了，問題就解決了一大半，余下的就只有計(jì)算了──這一般都不難．）