Question

8．如圖所示，A，B兩小球由繞過輕質(zhì)定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C放在水平地面上．現(xiàn)用手控制住A，并使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證定滑輪左側(cè)細線豎直，右側(cè)細線與斜面平行．已知B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)．已知斜面傾角α=30°．
（1）若釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時C恰好要離開地面，試求A的質(zhì)量M₁和A獲得的最大速度v_m；
（2）若釋放A后，A沿斜面下滑至位移最大時C恰好要離開地面，試求A的質(zhì)量M₂；
（3）若A的質(zhì)量M_A=3m，釋放A后，C能否離開地面？若能離開地面，求出C剛要離開地面時A、B的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）C球剛離開地面時，彈簧的彈力等于C的重力，根據(jù)牛頓第二定律知B的加速度為零，B、C加速度相同，分別對B、A受力分析，列出平衡方程，可以求出A的質(zhì)量，對B、C組成的系統(tǒng)由動能定理可以求出最大速度．
（2）A下滑至位移最大時，速度為0，對系統(tǒng)根據(jù)機械能守恒列式，A減少的重力勢能等于B增加的勢能
（3）判斷物體C能否離開地面，取決于A的質(zhì)量是否大于臨界值，經(jīng)判斷能離開地面，再對系統(tǒng)運用機械能守恒即可求解

解答 解：（1）當A所受合力為零時，速度最大，此時：a_A=a_B=a_C=0，
此時C剛離開地面時，由平衡條件得：
對C：kx₂=mg，
對B：T-kx₂-mg=0，
對A：M₁gsin30°-T=0，
解得：M₁=4m；
開始時系統(tǒng)靜止，且線上無拉力，
對B有：kx₁=mg，
解得：x₁=x₂=$\frac{mg}{k}$，
則從釋放A至C剛離開地面過程中，彈性勢能變化量為零，此過程中由機械能守恒得：
M₁g（x₁+x₂）sin30°-mg（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$（M₁+m）v²-0，解得：v=2g$\sqrt{\frac{m}{5k}}$；
（2）根據(jù)機械能守恒守恒定律${M}_{2}^{\;}g（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）sin30°=mg（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）$
解得：${M}_{2}^{\;}=2m$
（3）當$2m＜{M}_{A}^{\;}=3m＜4m$，C能離開地面
根據(jù)機械能守恒定律有：
${M}_{A}^{\;}g（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）sin30°-mg（{x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}）$=$\frac{1}{2}（{M}_{A}^{\;}+m）{v}_{\;}^{2}$
解得：$v=g\sqrt{\frac{m}{2k}}$
答：（1）若釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時C恰好要離開地面，A的質(zhì)量${M}_{1}^{\;}$為4m和A獲得的最大速度${v}_{m}^{\;}$為$2g\sqrt{\frac{m}{5k}}$；
（2）若釋放A后，A沿斜面下滑至位移最大時C恰好要離開地面，A的質(zhì)量${M}_{2}^{\;}$為2m；
（3）若A的質(zhì)量M_A=3m，釋放A后，C能離開地面，C剛要離開地面時A、B的速度大小$g\sqrt{\frac{m}{2k}}$

點評 本題難度中等，根據(jù)各物體的受力判斷運動的臨界點是關(guān)鍵，系統(tǒng)在只有重力或彈力做功的情況下機械能守恒，物體所受合外力最大時加速度最大，注意A剛要離開地面時，彈簧的伸長量和剛開始的壓縮量相同，所以彈性勢能的變化量是0．