Question

17．一輛質(zhì)量為m的車，發(fā)動(dòng)機(jī)的額定功率為P_m．已知該車沿傾角為30°的足夠長(zhǎng)斜面下坡時(shí)，若關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，它立刻以大小為$\frac{g}{2}$的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)開(kāi)啟發(fā)動(dòng)機(jī)，讓該車在大小為$\frac{3}{2}$mg的恒定牽引力作用下由靜止開(kāi)始勻加速下坡，設(shè)阻力不變，求：
（1）下坡過(guò)程中車所能達(dá)到的最大車速；
（2）該車勻加速下坡能持續(xù)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后物體做減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求得摩擦力，開(kāi)啟發(fā)動(dòng)機(jī)后，當(dāng)牽引力等于阻力時(shí)，速度達(dá)到最大；
（2）根據(jù)P=Fv求得勻加速達(dá)到的最大速度，根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，利用速度時(shí)間公式求得加速時(shí)間

解答 解：（1）車下坡時(shí)，若關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，車受重力mg、支持力 N、阻力f的作用，如圖所示：
設(shè)車的加速度大小為a₁，由牛頓第二定律得：
f-mgsin30°=ma₁                  ①
f=ma₁+mgsin30°，代入a₁=$\frac{g}{2}$，得：
f=mg                           ②
當(dāng)車勻加速下坡時(shí)，由P=Fv，得v=$\frac{P}{F}$，當(dāng)P達(dá)到額定功率P_m、同時(shí)牽引力最小時(shí)，車達(dá)到最高車速v_m．設(shè)最小牽引力為F₁
F₁+mgsin30°=f                    ③
F₁=f-mgsin30°=mg-mgsin30°=m$\frac{g}{2}$
故v_m=$\frac{{P}_{m}}{{F}_{1}}$=$\frac{2{P}_{m}}{mg}$
（2）當(dāng)車勻加速下坡時(shí)，車受牽引力F、重力mg、支持力N、阻力f的作用，如圖所示：
由P=Fv，車勻加速下坡時(shí)，牽引力F=3mg/2不變，P隨車速v加快而增大，直到達(dá)到額定功率P_m，此時(shí)車速為v₁
v₁=$\frac{{P}_{m}}{F}$=$\frac{2{P}_{m}}{3mg}$             ⑤
設(shè)車勻加速下坡的加速度大小為a₂
v₁=a₂t                           ⑥
F+mgsin30°-f=ma₂⑦
聯(lián)列②⑦，代入F=$\frac{3}{2}$mg得a₂=g   ⑧
聯(lián)列⑤⑥⑧可得車勻加速下坡能持續(xù)的時(shí)間
t=$\frac{2{P}_{m}}{3m{g}^{2}}$
答：（1）下坡過(guò)程中車所能達(dá)到的最大車速為$\frac{2{P}_{m}}{mg}$；
（2）該車勻加速下坡能持續(xù)的時(shí)間$\frac{2{P}_{m}}{3m{g}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合機(jī)車的啟動(dòng)模型，綜合考查了牛頓第二定律以及速度的關(guān)系等，抓住汽車在斜面上，此時(shí)重力沿斜面向下有分力即可．