Question

13．在半徑R=5000km的某星球表面，宇航員做了如下實驗，實驗裝置如圖甲所示．豎直平面內的光滑軌道由斜軌道AB和圓弧軌道BC組成，將質量m=0.2kg的小球，從軌道AB上高H處的某點靜止釋放，用力傳感器測出小球經過C點時對軌道的壓力F，改變H的大小，可測出F隨H的變化關系如圖乙所示．求：

（1）圓軌道的半徑；
（2）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出到達C點的速度，結合牛頓第二定律求出彈力F隨H的表達式，結合圖線求出圓軌道的半徑，以及星球表面的重力加速度．
（2）求出星球的近地衛(wèi)星的速度即第一宇宙速度

解答 解：（1）小球經過C點時，受到重力和軌道的支持力，根據牛頓第二定律有：$mg+F=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$…①
根據動能定理有：$mg（H-2R）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-0$…②
聯(lián)立①②得：$F=\frac{2mg}{R}H-5mg$
由題知m=0.2
$F=\frac{0.4g}{R}H-g$
在圖線上任取兩點（0.5m，o）（1.0m，5N）代入上式，得：$0=\frac{0.4g}{R}×0.5-g$
$5=\frac{0.4g}{R}×1-g$
解得：R=0.2m
$g=5m/{s}_{\;}^{2}$
（2）星球的第一宇宙速度，即星球的近地衛(wèi)星的速度，重力提供向心力，有：
$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{gR}=\sqrt{5×5×1{0}_{\;}^{6}}=5×1{0}_{\;}^{3}m/s$
答：（1）圓軌道的半徑0.2m；
（2）該星球的第一宇宙速度$5×1{0}_{\;}^{3}m/s$

點評 本題是牛頓運動定律與動能定理的綜合題，解決本題的關鍵根據該規(guī)律得出壓力F與H的關系式．結合表達式分析求解．