Question

7．如圖所示，大型車間傳送帶常用較大輪子帶動，為保持傳送帶水平穩(wěn)定傳輸物體，在上部分皮帶下方還安裝有滾輪支撐（圖中未畫出），已知傳送帶兩輪的半徑r=1m，傳動中傳送帶不打滑，質(zhì)量為1kg的物體從光滑軌道A點無初速下滑（A點比B點高h=5m），物體與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，當傳送帶靜止時，物體恰能在C點離開傳送帶，（物體視為質(zhì)點）取g=10m/s²，則
（1）BC兩點間距離為多少？
（2）當傳送帶兩輪以12rad/s的角速度順時針轉(zhuǎn)動時，物體仍從A 點無初速釋放，在整個過程中物體與皮帶系統(tǒng)增加的內(nèi)能為多少？
（3）電動機因運送物體而對傳送帶多做多少功？

Answer 1

分析 （1）物體恰能在C點離開傳送帶，在C點，由重力提供向心力，根據(jù)向心力公式求出物塊通過C點時的速度．物塊開始下滑到離開傳送帶的過程，利用動能定理可求得BC兩點間距離．
（2）物體從A點下滑到B點的過程，根據(jù)動能定理求出物塊B點的速度．根據(jù)動能定理求出物塊在傳送帶勻加速的位移，并求出勻加速運動時間，得到物塊與傳送帶間的相對位移，再求系統(tǒng)增加的內(nèi)能．
（3）電動機因運送物體而對傳送帶多做的功等于皮帶克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）設(shè)物體質(zhì)量為m，在C點時的速度為v_C，BC間距離為x．
物體恰能在C點離開傳送帶，則有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
物體開始下滑到離開傳送帶的過程，由動能定能得：mgh-μmgx=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯(lián)立得：v_C=$\sqrt{10}$m/s，x=22.5m
（2）設(shè)物體滑到B點的速度為v_B，由動能定能得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
得：v_B=10m/s
傳送帶的速度為：v=ωr=12m/s
所以物體先做勻加速運動，由動能定理得：μmgx₁=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得 x₁=11m，小于傳送帶的長度，所以物體先勻加速再勻速
勻加速時加速度為 a=μ=2m/s²．
解得 Q=2J
物體在BC段加速到與傳送帶速度相等的時間為：t=$\frac{v-{v}_{B}}{a}$=$\frac{12-10}{2}$=1s
皮帶在這段時間內(nèi)經(jīng)過的位移為：x₂=vt=12m
則物體與皮帶間相對位移為：△x=x₂-x₁=1m
在整個過程中物體與皮帶系統(tǒng)增加的內(nèi)能為 Q=μmg△x（3）皮帶保持勻速，電動機對皮帶多做的功與皮帶克服摩擦力做功相同，即有 W=μmgx₂=24J
答：（1）BC兩點間距離為22.5m．
（2）當傳送帶兩輪以12rad/s的角速度順時針轉(zhuǎn)動時，物體仍從A 點無初速釋放，在整個過程中物體與皮帶系統(tǒng)增加的內(nèi)能為2J．
（3）電動機因運送物體而對傳送帶多做功為24J．

點評 解決本題的關(guān)鍵是要理清物體的運動過程，知道物體的運動規(guī)律，結(jié)合動能定理、牛頓第二定律和運動學公式進行求解．