Question

4．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的$\frac{1}{4}$圓弧光滑軌道，半徑為R，軌道的最低點B的切線沿水平方向，軌道上端A距水平地面高度為H．質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點）從軌道最上端A點由靜止釋放，經(jīng)軌道最下端B點水平飛出，最后落在水平地面上的C點處，若空氣阻力可忽略不計，重力加速度為g．求：
（1）小球運動到B點時，軌道對它的支持力多大；
（2）小球落地點C與B點的水平距離x為多少；
（3）比值$\frac{R}{H}$為多少時，小球落地點C與B點水平距離x最遠；該水平距離最大值是多少．

Answer 1

分析 （1）小球由A→B過程中，只有重力做功，根據(jù)機械能守恒定律及向心力公式列式求解；
（2）小球從B點拋出后做平拋運動，根據(jù)平拋運動的位移公式求解；
（3）利用數(shù)學知識分析水平位移的表達式即可求解．

解答 解：（1）小球從A點運動到B點的過程中，機械能守恒，設在B點的速度為v_B，根據(jù)機械能守恒定律有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
設小球在B點時所受軌道的支持力為F_N，對小球在B點根據(jù)牛頓第二定律有：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立可解得：F_N=3mg
（2）小球離開B點后做平拋運動．
沿豎直方向有  H-R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
沿水平方向有  x=v_Bt 
聯(lián)立解得：x=2$\sqrt{R（H-R）}$
（3）由x=2$\sqrt{R（H-R）}$
可導出：x=$\sqrt{{H}^{2}-（2R-H）^{2}}$
當2R=H，即$\frac{R}{H}$=$\frac{1}{2}$時，x有最大值，x的最大值x_m=H 
答：（1）小球運動到B點時，軌道對它的支持力為3mg；
（2）小球落地點C與B點的水平距離x為2$\sqrt{R（H-R）}$．
（3）比值$\frac{R}{H}$為$\frac{1}{2}$時，小球落地點C與B點水平距離x最遠；該水平距離最大值是H．

點評 本題關鍵對兩個的運動過程分析清楚，然后選擇機械能守恒定律和平拋運動規(guī)律列式求解．