Question

1．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n+1=qS_n+1，其中q＞0，n∈N⁺
（Ⅰ）若a₂，a₃，a₂+a₃成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=1的離心率為e_n，且e₂=2，求e₁²+e₂²+…+e_n²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由數(shù)列的遞推公式可得a₂與a₃的值，又由a₂，a₃，a₂+a₃成等差數(shù)列，可得2a₃=a₂+（a₂+a₃），代入a₂與a₃的值可得q²=2q，解可得q的值，進(jìn)而可得S_n+1=2S_n+1，進(jìn)而可得S_n=2S_n-1+1，將兩式相減可得a_n=2a_n-1，即可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)題意S_n+1=qS_n+1，同理有S_n=qS_n-1+1，將兩式相減可得a_n=qa_n-1，分析可得a_n=q^n-1；又由雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=1的離心率為e_n，且e₂=2，分析可得e₂=$\sqrt{1+{a}_{{2}^{2}}}$=2，
解可得a₂的值，由a_n=q^n-1可得q的值，進(jìn)而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再次由雙曲線的幾何性質(zhì)可得e_n²=1+a_n²=1+3^n-1，運(yùn)用分組求和法計(jì)算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，即a₁=1，
又由S_n+1=qS_n+1，則S₂=qa₁+1，則a₂=q，
又有S₃=qS₂+1，則有a₃=q²，
若a₂，a₃，a₂+a₃成等差數(shù)列，即2a₃=a₂+（a₂+a₃），
則可得q²=2q，（q＞0），
解可得q=2，
則有S_n+1=2S_n+1，①
進(jìn)而有S_n=2S_n-1+1，②
①-②可得a_n=2a_n-1，
則數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
則a_n=1×2^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）根據(jù)題意，有S_n+1=qS_n+1，③
同理可得S_n=qS_n-1+1，④
③-④可得：a_n=qa_n-1，
又由q＞0，
則數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公比為q的等比數(shù)列，則a_n=1×q^n-1=q^n-1；
若e₂=2，則e₂=$\sqrt{1+{a}_{{2}^{2}}}$=2，
解可得a₂=$\sqrt{3}$，
則a₂=q=$\sqrt{3}$，即q=$\sqrt{3}$，
a_n=1×q^n-1=q^n-1=（$\sqrt{3}$）^n-1，
則e_n²=1+a_n²=1+3^n-1，
故e₁²+e₂²+…+e_n²=n+（1+3+3²+…+3^n-1）=n+$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推公式以及數(shù)列的求和，涉及雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，注意題目中q＞0這一條件．