1.(北師大版必修2 第93 頁A組第1題)
已知點(diǎn),求直線的斜率.
變式1:已知點(diǎn),則直線的傾斜角是( )
A. B. C. D.
解:∵,∴,∵,∴,故選(C).
變式2:(2006年北京卷)若三點(diǎn)共線,則的值等于 .
解:∵、、三點(diǎn)共線,∴,∴,∴,∴.
變式3:已知點(diǎn),直線的傾斜角是直線的傾斜角的一半,求直線的斜率.
解:設(shè)直線的傾斜角為,則直線的傾斜角為,依題意有,∴,∴,∴或.由,得,∴,∴,∴直線的斜率為.
2.(人教A版必修2 第111頁A組第9題)
求過點(diǎn),并且在兩軸上的截距相等的直線方程.
變式1:直線在軸上的截距為,在軸上的截距為,則( )
A. B. C. D.
解:令得,∴直線在軸上的截距為;令得,∴直線在軸上的截距為,故選(B).
變式2:過點(diǎn),且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是 .
解:依題意,直線的斜率為1或直線經(jīng)過原點(diǎn),∴直線的方程為或,即或.
變式3:直線經(jīng)過點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形,求直線的方程.
解:依題意,直線的斜率為±1,∴直線的方程為或,即或.
3.(人教A版必修2 第124頁A組第3題)
求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.
變式1:過點(diǎn)(-5,-4)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5的直線方程是 .
解:設(shè)所求直線方程為,依題意有,
∴(無解)或,解得或.
∴直線的方程是或.
變式2:(2006年上海春季卷)已知直線過點(diǎn),且與軸、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB面積的最小值為 .
解:設(shè)直線的方程為,
則,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號,∴當(dāng)時(shí),有最小值4.
變式3:已知射線和點(diǎn),在射線上求一點(diǎn),使直線與及軸圍成的三角形面積最小.
解:設(shè),則直線的方程為.令得,∴
,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號,∴當(dāng)為(2,8)時(shí),三角形面積最小.
4.(北師大版必修2 第117頁A組第10題)
求過點(diǎn),且與直線平行的直線的方程.
變式1:(2005年全國卷)已知過點(diǎn)和的直線與直線平行,則的值為( )
A.0 B.-8 C.2 D.10
解:依題意有,解得,故選(B).
變式2:與直線平行,且距離等于的直線方程是 .
解:設(shè)所求直線方程為,則,解得或,∴直線方程為或.
變式3:已知三條直線不能構(gòu)成三角形,求實(shí)數(shù)的取值集合.
解:依題意,當(dāng)三條直線中有兩條平行或重合,或三條直線交于一點(diǎn)時(shí),三條直線不能構(gòu)成三角形,故或或,∴實(shí)數(shù)的取值集合是.
5.(北師大版必修2 第117頁A組第7題)
若直線和直線垂直,求的值.
變式1:(1987年上海卷)若直線與直線平行但不重合,則等于( )
A.-1或2 B.-1 C.2 D.
解:∵,∴且,∴且,解得,故選(B).
變式2:(2005年北京春季卷)“”是“直線與直線相互垂直”的( )
A.充分必要條件 B.充分而不必要條件
C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件
解:由或,知由可推出,但由推不出,故是的充分不必要條件,故選(B).
變式3:設(shè)直線與圓相交于點(diǎn)、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求的值.
解:∵圓經(jīng)過原點(diǎn),且,∴是圓的直徑,∴圓心(1,-2)在直線上,∴.
6.(人教A版必修2 第110頁A組第3題)
已知,,求線段的垂直平分線的方程.
變式1:已知關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,則直線的方程是( )
A. B. C. D.
解:依題意得,直線是線段的垂直平分線.∵,∴,∵的中點(diǎn)為(1,1),∴直線的方程是即,故選(B).
變式2:已知圓與圓關(guān)于直線對稱 ,則直線的方程是 .
解:依題意得,兩圓的圓心與關(guān)于直線對稱,故直線是線段的垂直平分線,由變式1可得直線的方程為.
變式3:求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).
解:設(shè).由,且的中點(diǎn)在直線上,得,解得,∴.
7.(北師大版必修2 第118頁B組第2題)
光線自點(diǎn)射到點(diǎn)后被軸反射,求反射光線所在直線的方程.
變式1:一條光線從點(diǎn)射出,經(jīng)軸反射,與圓相切,則反射光線所在直線的方程是 .
解:依題意得,點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在反射光線所在的直線上,故可設(shè)反射光線所在直線的方程為,即.由反射光線與圓相切得,解得或,∴反射光線所在直線的方程是或,即或.
變式2:(2003年全國卷)已知長方形的四個(gè)頂點(diǎn)、、和,一質(zhì)點(diǎn)從的中點(diǎn)沿與夾角為的方向射到上的點(diǎn)后,依次反射到、和上的點(diǎn)、和(入射角等于反射角).設(shè)的坐標(biāo)為.若,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
解:用特例法,取,則、、、分別為、、、的中點(diǎn),此時(shí).依題意,包含的選項(xiàng)(A)(B)(D)應(yīng)排除,故選(C).
變式3:已知點(diǎn),在直線上求一點(diǎn)P,使最小.
解:由題意知,點(diǎn)A、B在直線的同一側(cè).由平面幾何性質(zhì)可知,先作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),然后連結(jié),則直線與的交點(diǎn)P為所求.事實(shí)上,設(shè)點(diǎn)是上異于P的點(diǎn),則.
設(shè),則,解得,∴,∴直線的方程為.由,解得,∴.
8.(人教A版必修2第144頁A組 3)
求以為圓心,并且與直線相切的圓的方程.
變式1:(2006年重慶卷)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為( )
A.或 B.或
C.或 D.或
解:設(shè)直線方程為,即.∵圓方程可化為,∴圓心為(2,-1),半徑為.依題意有,解得或,∴直線方程為或,故選(A).
變式2:(2006年湖北卷)已知直線與圓相切,則的值為 .
解:∵圓的圓心為(1,0),半徑為1,∴,解得或.
變式3:求經(jīng)過點(diǎn),且與直線和都相切的圓的方程.
解:設(shè)所求圓的方程為,則,
解得或,∴圓的方程為或.
9.(人教A版必修2 第144頁 A組 第5題)
求直線被圓截得的弦的長.
變式1:(1999年全國卷)直線截圓得的劣弧所對的圓心角為( )
A. B. C. D.
解:依題意得,弦心距,故弦長,從而△OAB是等邊三角形,故截得的劣弧所對的圓心角為,故選(C).
變式2:(2006年天津卷)設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn),且弦的長為,則 .
解:由弦心距、半弦長、半徑構(gòu)成直角三角形,得,解得.
變式3:已知圓,直線.
(1)求證:不論取什么實(shí)數(shù),直線與圓恒交于兩點(diǎn);
(2)求直線被圓截得的弦長最小時(shí)的方程.
解:(1)∵直線恒過定點(diǎn),且,∴點(diǎn)在圓內(nèi),∴直線與圓恒交于兩點(diǎn).
(2)由平面幾何性質(zhì)可知,當(dāng)過圓內(nèi)的定點(diǎn)的直線垂直于時(shí),直線被圓截得的弦長最小,此時(shí),∴所求直線的方程為即.
10.(北師大版必修2第117頁A組 第14題)
已知直線和圓,判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.
變式1:(2006年安徽卷)直線與圓沒有公共點(diǎn),則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
解:依題意有,解得.∵,∴,故選(A).
變式2:(2006年湖北卷)若直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則的取值范圍是 .
解:依題意有,解得,∴的取值范圍是.
變式3:若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解:∵曲線表示半圓,∴利用數(shù)形結(jié)合法,可得實(shí)數(shù)的取值范圍是或.
11.(北師大版必修2第101頁例8)
判斷圓與圓的位置關(guān)系,并畫出圖形.
變式1:(1995年全國卷)圓和圓的位置關(guān)系是( )
A.相離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切
解:∵圓的圓心為,半徑,圓的圓心為,半徑,∴.∵,∴兩圓相交,故選(C).
變式2:若圓與圓相切,則實(shí)數(shù)的取值集合是 .
解:∵圓的圓心為,半徑,圓的圓心為,半徑,且兩圓相切,∴或,∴或,解得或,或或,∴實(shí)數(shù)的取值集合是.
變式3:求與圓外切于點(diǎn),且半徑為的圓的方程.
解:設(shè)所求圓的圓心為,則所求圓的方程為.∵兩圓外切于點(diǎn),∴,∴,∴,∴所求圓的方程為.
12.(人教A版必修2 第145頁B組第2題)
已知點(diǎn),點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),求的最大值和最小值.
變式1:(2006年湖南卷)圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是( )
A.36 B.18 C. D.
解:∵圓的圓心為(2,2),半徑,∴圓心到直線的距離,∴直線與圓相離,∴圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是,故選(C).
變式2:已知,,點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),則的最小值是 .
解:設(shè),則.設(shè)圓心為,則,∴的最小值為.
變式3:已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).
(1)求的最大值與最小值;(2)求的最大值與最小值.
解:(1)設(shè),則表示點(diǎn)與點(diǎn)(2,1)連線的斜率.當(dāng)該直線與圓相切時(shí),取得最大值與最小值.由,解得,∴的最大值為,最小值為.
(2)設(shè),則表示直線在軸上的截距. 當(dāng)該直線與圓相切時(shí),取得最大值與最小值.由,解得,∴的最大值為,最小值為.
13.(人教A版必修2第135頁B組第3題)
已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的比為,求點(diǎn)的軌跡方程.
變式1:(2006年四川卷)已知兩定點(diǎn),,如果動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡所包圍的面積等于( )
A. B. C. D.
解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.由,得,化簡得,∴點(diǎn)的軌跡是以(2,0)為圓心,2為半徑的圓,∴所求面積為,故選(B).
變式2:(2004年全國卷)由動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、,切點(diǎn)分別為、,=600,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是 .
解:設(shè).∵=600,∴=300.∵,∴,∴,化簡得,∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.
變式3:(2003年北京春季卷)設(shè)為兩定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離的比為定值,求點(diǎn)的軌跡.
解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.由,得,
化簡得.
當(dāng)時(shí),化簡得,整理得;
當(dāng)時(shí),化簡得.
所以當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡是以為圓心,為半徑的圓;
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡是軸.
14.(人教A版必修2第133頁例5)
已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.
變式1:已知定點(diǎn),點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),是線段上的一點(diǎn),且,則點(diǎn)的軌跡方程是( )
A. B.
C. D.
解:設(shè).∵,∴,
∴,∴.∵點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),∴,∴,即,∴點(diǎn)的軌跡方程是,故選(C).
變式2:已知定點(diǎn),點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),的平分線交于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡方程是 .
解:設(shè).∵是的平分線,∴, ∴.由變式1可得點(diǎn)的軌跡方程是.
變式3:已知直線與圓相交于、兩點(diǎn),以、為鄰邊作平行四邊形,求點(diǎn)的軌跡方程.
解:設(shè),的中點(diǎn)為.∵是平行四邊形,∴是的中點(diǎn),∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,且.∵直線經(jīng)過定點(diǎn),∴,∴,化簡得.∴點(diǎn)的軌跡方程是.
15.(人教A版必修2第144頁練習(xí)第3題)
某圓拱橋的水面跨度20,拱高4.現(xiàn)有一船寬10,水面以上高3,這條船能否從橋下通過?
變式1:某圓拱橋的水面跨度是20,拱高為4.現(xiàn)有一船寬9,在水面以上部分高3,故通行無阻.近日水位暴漲了1.5,為此,必須加重船載,降低船身.當(dāng)船身至少應(yīng)降低
時(shí),船才能通過橋洞.(結(jié)果精確到0.01)
解:建立直角坐標(biāo)系,設(shè)圓拱所在圓的方程為.
∵圓經(jīng)過點(diǎn)(10,0),(0,4),∴,解得.
∴圓的方程是. 令,得.
故當(dāng)水位暴漲1.5后,船身至少應(yīng)降低,船才能通過橋洞.
變式2:據(jù)氣象臺預(yù)報(bào):在城正東方300的海面處有一臺風(fēng)中心,正以每小時(shí)40的速度向西北方向移動(dòng),在距臺風(fēng)中心250以內(nèi)的地區(qū)將受其影響.從現(xiàn)在起經(jīng)過約
,臺風(fēng)將影響城,持續(xù)時(shí)間約為 .(結(jié)果精確到0.1)
解:以為原點(diǎn),正東方向所在直線為軸,建立直角坐標(biāo)系,則臺風(fēng)中心的移動(dòng)軌跡是,受臺風(fēng)影響的區(qū)域邊界的曲線方程是.
依題意有,解得.
∴.
∴從現(xiàn)在起經(jīng)過約2.0,臺風(fēng)將影響城,持續(xù)時(shí)間約為6.6.
變式3:有一種商品,、兩地均有出售,且兩地價(jià)格相同.某地區(qū)的居民從兩地購買此種商品后往回販運(yùn)時(shí),單位距離的運(yùn)費(fèi)地是地的3倍.已知、兩地的距離是10,顧客購買這種商品選擇地或地的標(biāo)準(zhǔn)是:包括運(yùn)費(fèi)在內(nèi)的總費(fèi)用比較便宜.求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀,并指出在曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民如何選擇購貨地點(diǎn).
解:以的中點(diǎn)為原點(diǎn),所在直線為軸,建立直角坐標(biāo)系,則,.設(shè)是售貨區(qū)域分界線上的任意一點(diǎn),單位距離的運(yùn)費(fèi)為元,則,∴,化簡得.∴、兩地售貨區(qū)域的分界線是以為圓心,為半徑的圓.因此在曲線內(nèi)的居民選擇去地購貨,在曲線外的居民選擇去地購貨,在曲線上的居民去、兩地購貨均可.