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2009年 高 考 模 擬 考 試

數(shù)學(xué)試題（理科）

 

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.

 

第Ⅰ卷（選擇題  共60分）

注意事項：

1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.

2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標(biāo)號.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．復(fù)數(shù)的虛部是                                                   （    ）

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    A．             B．―           C．―           D．―i

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2．下列命題中真命題的個數(shù)是                                             （    ）

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    ①

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    ②若是假命題，則p，q都是假命題；

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    ③命題“”的否定是“”

    A．0              B．1              C．2              D．3

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3．曲線在點（0，1）處的切線方程是                            （    ）

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    A．                     B．

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    C．                     D．

 

 

 

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4．已知m、n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列四個命題中，錯誤的命題個數(shù)是                             （    ）

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    ①；

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    ②若；

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    ③；

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    ④

    A．1              B．2              C．3              D．4

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    A．         B．          

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    C．             D．―

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6． 一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查

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率分布直方圖.為了分析居民的收入與年齡、

學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，按月收入分層抽

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樣方法抽樣，若從月收入[3000，3500（元）

段中抽取了30人，則在為20000人中共抽取

的人數(shù)為                      （    ）

    A．200            B．100           

    C．20000          D．40

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7．執(zhí)行右面的程序框圖，輸出的S是（    ）

    A．―378          B．378

    C．―418          D．418

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8．某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的

數(shù)據(jù)，可得這個幾何體的表面積為（    ）

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    A．       B．

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    C．             D．12

 

 

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9．對一切實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）

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    A．       B．       C．        D．

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10．雙曲線的左焦點為F1，左、右頂點分別為A1、A2、P是雙曲線右支上的一點，則分別以PF1和A1A2的直徑的兩圓的位置關(guān)系是                    （    ）

    A．相交           B．相離           C．相切           D．內(nèi)含

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11．已知函數(shù)的反函數(shù)為，等比數(shù)列的公比為2，若

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                        （    ）

    A．21004×2008               B．21004×2009               C．21005×2008               D．21004×2009

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12．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，當(dāng)成立，則不等式的解集是                                                （    ）

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    A．                  B．

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    C．                    D．

 

第Ⅱ卷 （非選擇題，共90分）

 

注意事項：

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1．第Ⅱ卷包括填空題和解答題共兩個大題；

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2．第Ⅱ卷所有題目的答案考生需用黑色簽字筆答在“數(shù)學(xué)”答題卡指定的位置上.

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二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.

13．拋物線的準線方程是             .

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14．若

             .

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15．在△ABC中，D為邊BC上的中點，AB=2，AC=1，∠BAD=30°，則AD=             .

 

 

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16．給出下列結(jié)論：

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①函數(shù)在區(qū)間（）上是增函數(shù)；

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②不等式；

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③是兩直線平行的充分不必要條件；

20090515

其中正確結(jié)論的序號是             （把所有正確結(jié)論的序號都填上）

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三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17．（本小題滿分12分）

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已知函數(shù)

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（1）設(shè)方程內(nèi)有兩個零點x­1,x2，求x1+x2的值；

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（2）若把函數(shù)的圖象向左平移個單位使所得函數(shù)的圖象關(guān)于點（0，2）對稱，求m的最小值.

 

 

 

 

 

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18．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列和正項等比數(shù)列，a7是b3和b7的等比中項.

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（1）求數(shù)列的通項公式；

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（2）若，求數(shù)列{}的前n項和Tn.

 

 

 

 

 

 

 

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19．（本小題滿分12分）

三棱錐P―ABC中，△PAC是邊長為4的等邊三角形，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥平面ABC，D、E分別為AB、PB的中點.

（1）求證：AC⊥PD；

（2）求二面角E―AC―B的正切值；

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20．（本小題滿分12分）

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某工廠生產(chǎn)一種精密儀器，產(chǎn)品是否合格需先后經(jīng)兩道相互獨立的工序檢查，且當(dāng)?shù)谝坏拦ば驒z查合格后才能進入第二道工序，經(jīng)長期監(jiān)測發(fā)現(xiàn)，該儀器第一道工序檢查合格的概率為，第二道工序檢查合格的概率為.已知該廠每月生為3臺這種儀器.

   （1）求每生產(chǎn)一臺合格儀器的概率；

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   （2）用表示每月生產(chǎn)合格儀器的臺數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

   （3）若生產(chǎn)一臺儀器合格可盈利10萬元，不合格要虧損3萬元，求該廠每月的期望盈利額.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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21．（本小題滿分12分）

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已知圓，坐標(biāo)原點為O.圓C上任意一點A在x軸上的射影為點B，已知向量.

   （1）求動點Q的軌跡E的方程；

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   （2）當(dāng)時，設(shè)動點Q關(guān)于x軸的對稱點為點P，直線PD交軌跡E于點F（異于P點），證明：直線QF與x軸交于定點，并求定點坐標(biāo).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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22．（本小題滿分14分）

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已知函數(shù)處取得極值.

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   （1）求實數(shù)a的值，并判斷上的單調(diào)性；

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   （2）若數(shù)列滿足；

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   （3）在（2）的條件下，記

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求證：

 

 

20090515

 

 

 

 

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一、選擇題

CBACD  ADBAC  DB

二、填空題

13.    14.20     15.    16.①③④

三、解答題

17．解：（1）由題設(shè)

……………………2分

…………………………3分

由

得…………………………5分

…………………………6分

（2）設(shè)圖象向左平移m個單位，得到函數(shù)的圖象.

則，…………………………8分

對稱，

…………………………10分

…………………………12分

18．（本小題滿分12分）

解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，

由題設(shè)知

則

……………………3分

又

又

，

…………………………6分

（2）…………………………7分

①

  ②……………………9分

①―②得

…………………………12分

19．（本小題滿分12分）

證明：（1）取AC中點O，

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∴PO⊥AC，
又∵面PAC⊥面ABC，PO面PAC，
∴PO⊥面ABC，……………………2分
連結(jié)OD，則OD//BC，
∴DO⊥AC，
由三垂線定理知AC⊥PD.……………………4分
（2）連接OB，過E作EF⊥OB于F，
又∵面POB⊥面ABC，
∴EF⊥面ABC，
過F作FG⊥AC，連接EG，
由三垂線定理知EG⊥AC，
∴∠EGF即為二面角E―AC―B的平面角…………6分
在
在
∴……………………9分
（3）由題意知
又
即.…………………………12分
20．（本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)“生產(chǎn)一臺儀器合格”為事件A，則
……………………2分
（2）每月生產(chǎn)合格儀器的數(shù)量可為3，2，1，0，則
所以的分布列為：
3
2
1
0
P
 
∴的數(shù)學(xué)期望
…………9分
（3）該廠每生產(chǎn)一件儀器合格率為，
∴每臺期望盈利為（萬元）
∴該廠每月期望盈利額為萬元……………………12分
21．（本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)
，
，
…………………………3分
，這就是軌跡E的方程.……………………4分
（2）當(dāng)時，軌跡為橢圓，方程為①…………5分
設(shè)直線PD的方程為
代入①，并整理，得
   ②
由題意，必有，故方程②有兩上不等實根.
設(shè)點
由②知，………………7分
直線QF的方程為
當(dāng)時，令得，
將代入
整理得，
再將代入，
計算，得x=1，即直線QF過定點（1，0）
當(dāng)k=0時，（1，0）點……………………12分
22．（本小題滿分14分）
解：（1）
由題知，即a-1=0，∴a=1.……………………………2分
則
∵x≥0，∴≥0，≥0，
又∵＞0，∴x≥0時，≥0，
∴在上是增函數(shù).……………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明＞0.
①當(dāng)n=1時，=1＞0成立；
②假設(shè)當(dāng)時，＞0,
∵在上是增函數(shù)，
∴＞
∴＞0成立，
綜上當(dāng)時，＞0.……………………………………6分
又
∵＞0,1+＞1,∴＞0,
∵＞0,∴＜，…………………………………8分
而=1,∴≤1，綜上，0＜≤1.……………………………9分
（3）∵0＜＜≤1，
∴＜,
∴＜,
∴＜,
∴＞＞0,………………………………………11分
∴=?…＜?……
  =n.……………………………12分
∴Sn＝++…+
＜+()2+…+()n
＝
＜==1.
∴Sn＜1.………………………………………………………………14分
 
 
 

				
	

		



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