1．解：=，=，

∴ ，選B.

3．本卷共10小題，共90分。

⒀、已知正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于_______________。

⒁、設(shè)，式中變量滿足下列條件

則z的最大值為_____________。

⒂、安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________種。（用數(shù)字作答）

⒃、設(shè)函數(shù)。若是奇函數(shù)，則__________。

⒄、（本小題滿分12分）

的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。

⒅、（本小題滿分12分）

A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為。

（Ⅰ）求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率；

（Ⅱ）觀察3個(gè)試驗(yàn)組，用表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。

⒆、（本小題滿分12分）

如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點(diǎn)A、B在上，C在上，。

（Ⅰ）證明⊥；

（Ⅱ）若，求與平面ABC所成角的余弦值。

⒇、（本小題滿分12分）

在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量。求：

（Ⅰ）點(diǎn)M的軌跡方程；

（Ⅱ）的最小值。

（21）、（本小題滿分14分）

已知函數(shù)。

（Ⅰ）設(shè)，討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若對(duì)任意恒有，求的取值范圍。

（22）、（本小題滿分12分）

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和

，

（Ⅰ）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；

（Ⅱ）設(shè)，，證明：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

B

C

B

C

A

D

B

B

B

2．第Ⅱ卷共2頁(yè)，請(qǐng)用黑色簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效。

1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，并貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。

⑾、用長(zhǎng)度分別為2、3、4、5、6（單位：）的5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為

A．      B．          C．          D．

⑿、設(shè)集合。選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有

A．        B．              C．             D．

2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

第Ⅱ卷

注意事項(xiàng)：

1．考生不能將答案直接答在試卷上，必須答在答題卡上．

22．解：（I）由已知得 

又

是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.

（II）由（I）知，

將以上各式相加得：

（III）解法一：

存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.

數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)

即

又

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列.

解法二：

存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.

由（I）、（II）知，

又

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列.

21．解：設(shè)橢圓方程為

（Ⅰ）由已知得

∴所求橢圓方程為       .

（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為

由，消去y得關(guān)于x的方程：

由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，

解得

又由韋達(dá)定理得

原點(diǎn)到直線的距離

.

解法1：對(duì)兩邊平方整理得：

（*）

           ∵，

              整理得：

              又，   

              從而的最大值為，

此時(shí)代入方程（*）得 

所以，所求直線方程為：.

解法2：令，

              則

                     當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，

                     此時(shí).

                     所以，所求直線方程為

解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零.

              設(shè)直線l的方程為，

              則直線l與x軸的交點(diǎn)，

              由解法一知且，

              解法1：

                                    =

                                   .

                     下同解法一.

              解法2：

                            下同解法一.

20．解法一：

平面，

又，

由平面幾何知識(shí)得：

（Ⅰ）過做交于于，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，

四邊形是等腰梯形，

又

四邊形是平行四邊形。

是的中點(diǎn)，且

又，

為直角三角形，

在中，由余弦定理得

故異面直線PD與所成的角的余弦值為

（Ⅱ）連結(jié)，由（Ⅰ）及三垂線定理知，為二面角的平面角

，

二面角的大小為

（Ⅲ）連結(jié)，

平面平面，

又在中，

，

，

故時(shí)，平面

解法二：

 平面

又，，

由平面幾何知識(shí)得：

以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，

（Ⅰ），

       ，

。

。

故直線與所成的角的余弦值為

（Ⅱ）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由于，，

由   得 

取，又已知平面ABCD的一個(gè)法向量，

又二面角為銳角，

所求二面角的大小為

（Ⅲ）設(shè)，由于三點(diǎn)共線，，

平面，

由（1）（2）知：

，。

故時(shí)，平面。