23.(2009山東卷文)(本小題滿分12分)

等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的　 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. 　　　

(1)求r的值；　　　

(11)當(dāng)b=2時(shí)，記　 　　求數(shù)列的前項(xiàng)和

解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,

當(dāng)時(shí),, 　　　

當(dāng)時(shí),,

又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,　 所以,　 公比為,　　 所以

(2)當(dāng)b=2時(shí)，,　　

則

相減,得

所以

[命題立意]:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前項(xiàng)和.

22.(2009山東卷理)(本小題滿分12分)

等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的　 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.

(1)求r的值；　　　

(11)當(dāng)b=2時(shí)，記　 　　.　 　

證明：對(duì)任意的 ，不等式成立

解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為,

(2)當(dāng)b=2時(shí)，,　　

則,所以 .　 　

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.

①　　 當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?sub>,所以不等式成立.

②　　 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊=

所以當(dāng)時(shí),不等式也成立. .　 　

由①、②可得不等式恒成立.

[命題立意]:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.

21.(2009江蘇卷)(本題滿分10分)

對(duì)于正整數(shù)≥2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中(和可以相等)；對(duì)于隨機(jī)選取的(和可以相等)，記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率。

(1)求和；

(2)求證：對(duì)任意正整數(shù)≥2，有.

[解析] [必做題]本小題主要考查概率的基本知識(shí)和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。

　.　 　

20.(2009江蘇卷)(本小題滿分14分)

設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和； 　　

(2)試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)。 　　

[解析] 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力。滿分14分。

(1)設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?sub>，所以，即，又由得，解得，,

(2) _(方法一)=,設(shè)， 　　

則=,　 所以為8的約數(shù)

(方法二)因?yàn)?sub>為數(shù)列中的項(xiàng)，

故為整數(shù)，又由(1)知：為奇數(shù)，所以

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。.　 　

19.(2009浙江文)(本題滿分14分)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，其中是常數(shù)．

　 (I) 求及；

　 (II)若對(duì)于任意的，，，成等比數(shù)列，求的值．

解析：(Ⅰ)當(dāng)，

　　　 ()

　　　 經(jīng)驗(yàn)，()式成立，　　　

　　 (Ⅱ)成等比數(shù)列，，

即，整理得：，

對(duì)任意的成立，　　　　　

18.(2009年廣東卷文)(本小題滿分14分)

已知點(diǎn)(1，)是函數(shù)且)的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足－=+().

(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{前項(xiàng)和為，問>的最小正整數(shù)是多少? .　 　

[解析](1),

　,,

　　　　 　.

又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)列， ，所以 ；

又公比，所以　 �。�

又,, ；

數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列， ，

當(dāng)， �。�

()；

(2)

　　　 　；

　 由得，滿足的最小正整數(shù)為112.

17.(2009寧夏海南卷文)等比數(shù)列{}的公比, 已知=1，，則{}的前4項(xiàng)和= 　　　　　　　.　 　

[答案]

[解析]由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。

16.(2009寧夏海南卷理)等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為。已知+-=0，=38,則m=_______

解析：由+-=0得到。

答案10

15.(2009遼寧卷理)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且則 　　　　　　　　

[解析]∵S_n＝na₁+n(n－1)d .　 　

　　　　 ∴S₅＝5a₁+10d,S₃＝3a₁+3d

　　　　 ∴6S₅－5S₃＝30a₁+60d－(15a₁+15d)＝15a₁+45d＝15(a₁+3d)＝15a₄

[答案]

14.(2009山東卷文)在等差數(shù)列中,,則.

[解析]:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由已知得解得,所以. 　　　

答案:13.

[命題立意]:本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本計(jì)算.