21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù),其中 　 　

(1)　　　 當(dāng)滿足什么條件時(shí),取得極值?

(2)　　　 已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.

解:　 (1)由已知得,令,得,

要取得極值,方程必須有解,

所以△,即,　 此時(shí)方程的根為

,,

所以 　 　

當(dāng)時(shí),

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值.

當(dāng)時(shí), 　 　

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值.

綜上,當(dāng)滿足時(shí), 取得極值. 　 　

(2)要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,需使在上恒成立.

即恒成立,　 所以

設(shè),,

令得或(舍去), 　 　

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),單調(diào)增函數(shù);

當(dāng)時(shí),單調(diào)減函數(shù),

所以當(dāng)時(shí),取得最大,最大值為.

所以

當(dāng)時(shí),,此時(shí)在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)最大,最大值為,所以

綜上,當(dāng)時(shí), ;　　 當(dāng)時(shí), 　 　

[命題立意]:本題為三次函數(shù),利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號(hào)確定,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運(yùn)用函數(shù)與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.

20.(本小題滿分12分)

等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為， 已知對任意的　 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. 　 　

(1)求r的值；　　　

(11)當(dāng)b=2時(shí)，記　 　　求數(shù)列的前項(xiàng)和

解:因?yàn)閷θ我獾?sub>,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.所以得,

當(dāng)時(shí),, 　 　

當(dāng)時(shí),,

又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,　 所以,　 公比為,　　 所以

(2)當(dāng)b=2時(shí)，,　　

則

相減,得

所以

[命題立意]:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前項(xiàng)和.

19. (本小題滿分12分)

　 一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào),某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):

按類型分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.

(1)　　　 求z的值. 　 　

(2)　　　 用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本.將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;

(3)　　　 用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測它們的得分如下:9.4,　 8.6, 9.2,　 9.6,　 8.7,　 9.3,　 9.0,　 8.2.把這8輛轎車的得分看作一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.

解: (1).設(shè)該廠本月生產(chǎn)轎車為n輛,由題意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400

(2) 設(shè)所抽樣本中有m輛舒適型轎車,因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ贑類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本,所以,解得m=2也就是抽取了2輛舒適型轎車,3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車,分別記作S₁,S₂;B_1,B₂,B₃,則從中任取2輛的所有基本事件為(S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),(B₁ ,B₂), (B₂ ,B₃) ,(B₁ ,B₃)共10個(gè),其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有7個(gè)基本事件: (S₁, B₁), (S₁, B₂) , (S₁, B₃) (S₂ ,B₁), (S₂ ,B₂), (S₂ ,B₃),( (S₁, S₂),所以從中任取2輛,至少有1輛舒適型轎車的概率為.

(3)樣本的平均數(shù)為,

那么與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的數(shù)為9.4,　 8.6,　 9.2,　 8.7,　 9.3,　 9.0這6個(gè)數(shù),總的個(gè)數(shù)為8,所以該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率為.

[命題立意]:本題為概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)內(nèi)容,涉及到分層抽樣以及古典概型求事件的概率問題.要讀懂題意,分清類型,列出基本事件,查清個(gè)數(shù).,利用公式解答.

18.(本小題滿分12分)

　　 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,　 AA=2,　 E、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn). 　　

(1)　　　 設(shè)F是棱AB的中點(diǎn),證明：直線EE//平面FCC；

(2)　　　 證明:平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

證明:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點(diǎn)F₁，

連接A₁D，C₁F₁，CF₁，因?yàn)锳B=4, CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形，所以CF₁//A₁D，

又因?yàn)镋、E分別是棱AD、AA的中點(diǎn)，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因?yàn)?sub>平面FCC，平面FCC，

所以直線EE//平面FCC.

(2)連接AC,在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

所以CC₁⊥AC,因?yàn)榈酌鍭BCD為等腰梯形，AB=4, BC=2,

　F是棱AB的中點(diǎn),所以CF=CB=BF，△BCF為正三角形，

,△ACF為等腰三角形，且

所以AC⊥BC,　 又因?yàn)锽C與CC₁都在平面BB₁C₁C內(nèi)且交于點(diǎn)C,

所以AC⊥平面BB₁C₁C,而平面D₁AC,

所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

[命題立意]: 本題主要考查直棱柱的概念、線面平行和線面垂直位置關(guān)系的判定.熟練掌握平行和垂直的判定定理.完成線線、線面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

17.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2在處取最小值.

(1)　　　 求.的值;

(2)　　　 在ABC中,分別是角A,B,C的對邊,已知,求角C..

解: (1)

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在處取最小值，所以,由誘導(dǎo)公式知,因?yàn)?sub>,所以.所以 　 　

(2)因?yàn)?sub>,所以,因?yàn)榻茿為ABC的內(nèi)角,所以.又因?yàn)?sub>所以由正弦定理,得,也就是,

因?yàn)?sub>,所以或.

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

[命題立意]:本題主要考查了三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式和三角函數(shù)的性質(zhì),并利用正弦定理解得三角形中的邊角.注意本題中的兩種情況都符合.

16.某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品,甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件,乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件,B類產(chǎn)品140件,所需租賃費(fèi)最少為__________元.

[解析]:設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 乙種設(shè)備需要生產(chǎn)天, 該公司所需租賃費(fèi)為元,則，甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品的情況為下表所示: 　 　

產(chǎn)品　 設(shè)備	A類產(chǎn)品　 (件)(≥50)	B類產(chǎn)品　 (件)(≥140)	租賃費(fèi)　　 (元)
甲設(shè)備	5	10	200
乙設(shè)備	6	20	300

則滿足的關(guān)系為即:,

作出不等式表示的平面區(qū)域,當(dāng)對應(yīng)的直線過兩直線的交點(diǎn)(4,5)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最低為2300元.

答案:2300

[命題立意]:本題是線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題,需要通過審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,最好是列成表格,找出線性約束條件,寫出所研究的目標(biāo)函數(shù),通過數(shù)形結(jié)合解答問題..

15.執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的T=　　　　　 . 　 　

[解析]:按照程序框圖依次執(zhí)行為S=5,n=2,T=2;

S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;

S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,輸出T=30

答案:30

[命題立意]:本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,一般都可以

反復(fù)的進(jìn)行運(yùn)算直到滿足條件結(jié)束,本題中涉及到三個(gè)變量,

注意每個(gè)變量的運(yùn)行結(jié)果和執(zhí)行情況.

14.若函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　 . 　 　

[解析]: 設(shè)函數(shù)且和函數(shù),則函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn), 就是函數(shù)且與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn),由圖象可知當(dāng)時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn),不符合,當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)(0,1),而直線所過的點(diǎn)(0，a)一定在點(diǎn)(0,1)的上方,所以一定有兩個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 　 　

答案:

[命題立意]:本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系,隱含著對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查,根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的圖象進(jìn)行解答.

13.在等差數(shù)列中,,則.

[解析]:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由已知得解得,所以. 　 　

答案:13.

[命題立意]:本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本計(jì)算.

12. 已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則(　　　 ). 　 　

A.　　　　　 B.

C. 　　　　　D.

[解析]:因?yàn)?sub>滿足,所以,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù), 則,,,又因?yàn)?sub>在R上是奇函數(shù)， ,得,,而由得,又因?yàn)?sub>在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以,所以,即,故選D. 　 　

答案:D.

[命題立意]:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等性質(zhì),運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.

第卷