23. (本題滿分10分)

對于正整數≥2，用表示關于的一元二次方程有實數根的有序數組的組數，其中(和可以相等)；對于隨機選取的(和可以相等)，記為關于的一元二次方程有實數根的概率。

(1)求和；

(2)求證：對任意正整數≥2，有.

[解析] [必做題]本小題主要考查概率的基本知識和記數原理，考查探究能力。滿分10分。

22.(本題滿分10分)

在平面直角坐標系中，拋物線C的頂點在原點，經過點A(2，2)，其焦點F在軸上。

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)求過點F，且與直線OA垂直的直線的方程；

(3)設過點的直線交拋物線C于D、E兩點，ME=2DM，記D和E兩點間的距離為，求關于的表達式。

[解析] [必做題]本小題主要考查直線、拋物線及兩點間的距離公式等基本知識，考查運算求解能力。滿分10分。

21.[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

A.選修4 - 1：幾何證明選講

如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△BAD.

求證：AB∥CD.

[解析] 本小題主要考查四邊形、全等三角形的有關知識，考查推理論證能力。滿分10分。

證明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四點共圓，從而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。

B. 選修4 - 2：矩陣與變換

求矩陣的逆矩陣.

[解析] 本小題主要考查逆矩陣的求法，考查運算求解能力。滿分10分。

解：設矩陣A的逆矩陣為則

即故

解得：，

從而A的逆矩陣為.

C. 選修4 - 4：坐標系與參數方程

已知曲線C的參數方程為(為參數，).

求曲線C的普通方程。

[解析] 本小題主要考查參數方程和普通方程的基本知識，考查轉化問題的能力。滿分10分。

解：因為所以

故曲線C的普通方程為：.

D. 選修4 - 5：不等式選講

設≥＞0,求證：≥.

[解析] 本小題主要考查比較法證明不等式的常見方法，考查代數式的變形能力。滿分10分。

證明：

因為≥＞0,所以≥0，＞0，從而≥0，

即≥.

[必做題]第22題、第23題，每題10分，共計20分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

20．(本小題滿分16分)

設為實數，函數.

(1)若，求的取值范圍；

(2)求的最小值；

(3)設函數，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.

[解析] 本小題主要考查函數的概念、性質、圖象及解一元二次不等式等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分

(1)若，則

(2)當時，

　 當時，

　 綜上

(3)時，得，

當時，；

當時，△>0,得：

討論得：當時，解集為;

當時，解集為;

當時，解集為.

數學Ⅱ(附加題)

參考公式：

18．(本小題滿分16分)

在平面直角坐標系中，已知圓和圓.

(1)若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；

(2)設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標。

[解析] 本小題主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式，考查數學運算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分16分。

(1)設直線的方程為：，即

由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，

結合點到直線距離公式，得：

化簡得：

求直線的方程為：或，即或

(2) 設點P坐標為，直線、的方程分別為：

，即：

因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：：圓心到直線與直線的距離相等。

故有：，

化簡得：

關于的方程有無窮多解，有：

解之得：點P坐標為或。

17．(本小題滿分14分)

設是公差不為零的等差數列，為其前項和，滿足。_學

(1)求數列的通項公式及前項和；

(2)試求所有的正整數，使得為數列中的項。

[解析] 本小題主要考查等差數列的通項、求和的有關知識，考查運算和求解的能力。滿分14分。

(1)設公差為，則，由性質得，因為，所以，即，又由得，解得，,

(2) _(方法一)=,設，

則=,　 所以為8的約數

(方法二)因為為數列中的項，

故為整數，又由(1)知：為奇數，所以

經檢驗，符合題意的正整數只有。

16．(本小題滿分14分)

如圖，在直三棱柱中，_、分別是、的中點，點在上，_。

求證：(1)EF∥平面ABC；

(2)平面平面.

[解析] 本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位置關系，考查空間想象能力、推理論證能力。滿分14分。