3．對于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個函數(shù)的圖象。

2．作函數(shù)的圖象時，首先要確定函數(shù)的定義域.

1．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，在中學(xué)階段，對各類函數(shù)的研究都離不開圖象，很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖象而得到的.

題型1：三角函數(shù)的圖象

例1．(2009浙江理)已知是實數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是 (　　 )

解析　 對于振幅大于1時，三角函數(shù)的周期為，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．

答案：D

例2．(2009遼寧理，8)已知函數(shù)=Acos()的圖象如圖所示，，則=(　　 )

A.　　　　 B. 　　　　C.- 　　　　D.　　　　

答案　 C

題型2：三角函數(shù)圖象的變換

例3．試述如何由y=sin(2x+)的圖象得到y=sinx的圖象.

解析：y=sin(2x+)

另法答案：

(1)先將y=sin(2x+)的圖象向右平移個單位，得y=sin2x的圖象；

(2)再將y=sin2x上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得y=sinx的圖象；

(3)再將y=sinx圖象上各點的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y=sinx的圖象。

例4．(2009山東卷理)將函數(shù)的圖象向左平移個單位, 再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式是(　　　　　 ).

A.　 　　B.　　 C.　　 D.

解析 將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選B.

答案:B

[命題立意]:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡解析式的基本知識和基本技能,學(xué)會公式的變形.　　　

7.(2009山東卷文)將函數(shù)的圖象向左平移個單位, 再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式是(　　　　　 ).

A. 　　　　B. 　　C.　　 D.

解析 將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選A.

答案:A

[命題立意]:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡解析式的基本知識和基本技能,學(xué)會公式的變形.

題型3：三角函數(shù)圖象的應(yīng)用

例5．已知電流I與時間t的關(guān)系式為。

(1)右圖是(ω＞0，)

在一個周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求

的解析式；

(2)如果t在任意一段秒的時間內(nèi)，電流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？

　解析:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力．

(1)由圖可知 A＝300。

設(shè)t₁＝－，t₂＝，

則周期T＝2(t₂－t₁)＝2(+)＝。

∴ ω＝＝150π。

又當(dāng)t＝時，I＝0，即sin(150π·+)＝0，

而， ∴ ＝。

故所求的解析式為。

(2)依題意，周期T≤，即≤，(ω>0)

∴ ω≥300π＞942，又ω∈N^*，

故最小正整數(shù)ω＝943。

點評:本題解答的開竅點是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言．其中，讀圖、識圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑.

例6．(1)(2009遼寧卷理)已知函數(shù)=Acos()的圖象如圖所示，，則=(　　　 )

A.　　　　　 B. 　　　　　　C.－ 　　　　　　　D. 　　　　　　　

解析　 由圖象可得最小正周期為

　　　 于是f(0)＝f(),注意到與關(guān)于對稱

　　　 所以f()＝－f()＝

答案　 B

(2)(2009寧夏海南卷理)已知函數(shù)y=sin(x+)(>0, -<)的圖像如圖所示，則　 =________________　

解析：由圖可知，

答案：

題型4：三角函數(shù)的定義域、值域

例7．(1)已知f(x)的定義域為［0，1］，求f(cosx)的定義域；

(2)求函數(shù)y=lgsin(cosx)的定義域；

分析：求函數(shù)的定義域：(1)要使0≤cosx≤1，(2)要使sin(cosx)＞0，這里的cosx以它的值充當(dāng)角。

解析：(1)0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ(k∈Z)。

∴所求函數(shù)的定義域為{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。

(2)由sin(cosx)＞02kπ＜cosx＜2kπ+π(k∈Z)。

又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。

故所求定義域為{x｜x∈(2kπ－，2kπ+)，k∈Z}。

點評：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線.

例8．已知函數(shù)f(x)=，求f(x)的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域.

解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，所以f(x)的定義域為{x|x∈R且x≠，k∈Z}，

因為f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，

且f(－x)==f(x)。

所以f(x)是偶函數(shù)。

又當(dāng)x≠(k∈Z)時，

f(x)=。

所以f(x)的值域為{y|－1≤y<或<y≤2}。

點評：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。

題型5：三角函數(shù)的單調(diào)性

例9．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(1)y=sin(－)；(2)y=－｜sin(x+)｜。

分析：(1)要將原函數(shù)化為y=－sin(x－)再求之。

(2)可畫出y=－|sin(x+)|的圖象.

解：(1)y=sin(－)=－sin(－)。

故由2kπ－≤－≤2kπ+。

3kπ－≤x≤3kπ+(k∈Z)，為單調(diào)減區(qū)間；

由2kπ+≤－≤2kπ+。

3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z)，為單調(diào)增區(qū)間。

∴遞減區(qū)間為［3kπ－，3kπ+］，

遞增區(qū)間為［3kπ+，3kπ+］(k∈Z)。

(2)y=－|sin(x+)|的圖象的增區(qū)間為［kπ+，kπ+］，減區(qū)間為［kπ－，kπ+］。

例10．(2002京皖春文，9)函數(shù)y=2^sinx的單調(diào)增區(qū)間是(　　 )

A．［2kπ－，2kπ+］(k∈Z)

B．［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)

C．［2kπ－π，2kπ］(k∈Z)

D．［2kπ，2kπ+π］(k∈Z)

解析：A；函數(shù)y=2^x為增函數(shù)，因此求函數(shù)y=2^sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間.

題型6：三角函數(shù)的奇偶性

例11．判斷下面函數(shù)的奇偶性：f(x)=lg(sinx+)。

分析：判斷奇偶性首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再看f(x)與f(－x)的關(guān)系。

解析：定義域為R，又f(x)+f(－x)=lg1=0，

即f(－x)=－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)。

點評：定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要(但不充分)條件。

例12．(2001上海春)關(guān)于x的函數(shù)f(x)=sin(x+)有以下命題：

①對任意的，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；

②不存在，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

③存在，使f(x)是奇函數(shù)；

④對任意的，f(x)都不是偶函數(shù)。

其中一個假命題的序號是_____.因為當(dāng)=_____時，該命題的結(jié)論不成立.

答案：①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)

解析：當(dāng)=2kπ，k∈Z時，f(x)=sinx是奇函數(shù)。當(dāng)=2(k+1)π，k∈Z時f(x)=－sinx仍是奇函數(shù)。當(dāng)=2kπ+，k∈Z時，f(x)=cosx，或當(dāng)=2kπ－，k∈Z時，f(x)=－cosx，f(x)都是偶函數(shù).所以②和③都是正確的。無論為何值都不能使f(x)恒等于零。所以f(x)不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。①和④都是假命題。

點評：本題考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式以及分析問題的能力，注意k∈Z不能不寫，否則不給分，本題的答案不惟一，兩個空全答對才能得分.

題型7：三角函數(shù)的周期性

例13．求函數(shù)y=sin⁶x+cos⁶x的最小正周期，并求x為何值時，y有最大值。

分析：將原函數(shù)化成y=Asin(ωx+)+B的形式，即可求解.

解析：y=sin⁶x+cos⁶x=(sin²x+cos²x)(sin⁴x－sin²xcos²x+cos⁴x)

=1－3sin²xcos²x=1－sin²2x=cos4x+。

∴T=。

當(dāng)cos4x=1，即x=(k∈Z)時，y_max=1。

例14．設(shè)的周期，最大值，

(1)求、、的值；

(2)。

解析：(1) ， ， ，

又 的最大值。

， �、佟� ，且 ②，

由 ①、②解出　 a=2 ,　 b=3.

(2) ， ，

　，　

，　 或　 ，　

即　 　( 共線，故舍去) ，　 或　 ，

　 。

點評：方程組的思想是解題時常用的基本思想方法；在解題時不要忘記三角函數(shù)的周期性。

題型8：三角函數(shù)的最值

例15．(2009安徽卷文)設(shè)函數(shù)，其中，則導(dǎo)數(shù)的取值范圍是

A. 　　 　　B. 　　　　　　 C.　　　 　　　　 D.

解析

，選D

例16．(2009江西卷理)若函數(shù)，，則的最大值為

A．1　　　　　 B．　　　 C．　　　 D．

答案：B

解析 因為==

當(dāng)是，函數(shù)取得最大值為2. 故選B

9．五點法作y=Asin(ωx+)的簡圖：

五點取法是設(shè)x=ωx+，由x取0、、π、、2π來求相應(yīng)的x值及對應(yīng)的y值，再描點作圖。

8．求三角函數(shù)的周期的常用方法：

經(jīng)過恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法.

7．求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、的正負(fù).利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；

6．對稱軸與對稱中心：

的對稱軸為，對稱中心為；

的對稱軸為，對稱中心為；

對于和來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系。

5．由y＝Asin(ωx+)的圖象求其函數(shù)式：

給出圖象確定解析式y=Asin(ωx+)的題型，有時從尋找“五點”中的第一零點(－，0)作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個零點的位置。

4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx+)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。

利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn).無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。

途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)

先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?sub>倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx+)的圖象.

途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。

先將y＝sinx的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?sub>倍(ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx+)的圖象。