【題目】如圖,已知在平面直角坐標系中,點在軸上,點、在軸上,,,,點的坐標是,
(1)求三個頂點、、的坐標;
(2)連接、,并用含字母的式子表示的面積();
(3)在(2)問的條件下,是否存在點,使的面積等于的面積?如果存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)A(0,-4),B(-4,0),C(6,0);(2)2a-4或4-2a,詳見解析;(3)存在,點P的坐標為(-6,12)或(-6,-8)
【解析】
(1)根據(jù)三角形面積公式得到OA2=8,解得OA=4,則OB=OA=4,OC=BC-OB=6,然后根據(jù)坐標軸上點的坐標特征寫出△ABC三個頂點的坐標;
(2)分類討論:當點P在在直線AB上方即a>2;當點P在直線AB下方,即a<2;利用面積的和與差求解;
(3)先計算出S△ABC=20,利用(2)中的結(jié)果得到方程,然后分別求出a的值,從而確定P點坐標.
解:(1)∵S△ABO=OA×OB,
∵OA=OB,
∴OA2=8,解得OA=4,
∴OB=OA=4,
∴OC=BC-OB=10-4=6,
∴A(0,-4),B(-4,0),C(6,0);
(2)當點P在第二象限,直線AB的上方,即a>2,作PH⊥y軸于H,如圖,
S△PAB=S△AOB+S梯形BOHP-S△PAH=8+(4+6)×a-×6×(a+4)=2a-4;
當點P在直線AB下方,即a<2,作PH⊥x軸于H,如圖,
S△PAB=S梯形OHPA-S△PBH-S△OAB=(-a+4)×6-×(6-4)×(-a)-8=4-2a;
(3)S△ABC=×10×4=20,
當2a-4=20,
解得a=12.
此時P點坐標為(-6,12);
當4-2a=20,
解得a=-8.
此時P點坐標為(-6,-8).
綜上所述,點P的坐標為(-6,12)或(-6,-8).
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【題目】數(shù)軸上的點表示的數(shù)是5,點表示的數(shù)是,這兩點都以每秒一個單位長度的速度在數(shù)軸上各自朝某個方向運動,且兩點同時開始運動:
(1)若點向右運動,則兩秒后點表示的數(shù)是_______;(直接寫結(jié)果)
(2)若點向左運動,點向右運動,當這兩點相遇時點表示的數(shù)是多少?
(3)同時運動3秒后,這兩點相距多遠?
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【題目】如圖,在△ABC中,已知AC=BC=5,AB=6,點E是線段AB上的動點(不與端點重合),點F是線段AC上的動點,連接CE、EF,若在點E、點F的運動過程中,始終保證∠CEF=∠B.當以點C為圓心,以CF為半徑的圓與AB相切時,則BE的長為_________.
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【題目】如圖,已知點P為∠AOB的角平分線上的一點,點D在邊OA上.在邊OB上取一點E,使得PE=PD.
(1)用圓規(guī)作出所有符合條件的點E;
(2)寫出∠OEP與∠ODP的數(shù)量關系,并加以證明.
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【題目】若關于x的三個方程x2+4mx+4m2+2m+3=0,x2+(2m+1)x+m2=0,(m﹣1)x2+2mx+m﹣1=0中至少有一個方程有實根,則m的取值范圍是_____.
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【題目】如圖,中,∠C=90°,,,若動點P從點C開始,按的路徑運動,且速度為每秒1cm,設出發(fā)的時間為t秒.
點P出發(fā)2秒后,求CP和BP的長.
問t滿足什么條件時的值或取值范圍,為直角三角形?
另有一點Q,從點C開始,按的路徑運動,且速度為每秒2cm,若P、Q兩點同時出發(fā),當P、Q中有一點到達終點時,另一點也停止運動當t為何值時,直線PQ把的周長分成相等的兩部分?
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【題目】(1)如圖,陰影部分是由5個小正方形組成的一個直角圖形,請用3種方法分別在下圖方格內(nèi)添涂黑二個小正方形,使陰影部分成為軸對稱圖形.
(2)如圖,在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形中,點A、B、C在小正方形的頂點上.
①在圖中畫出與△ABC關于直線l成軸對稱的△AB′C′;
②△ABC的面積為____________;
③在直線l上找一點P,使PB+PC的長最短.
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【題目】如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角.點D為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.
解答下列問題:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90.
①當點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖乙,線段CF、BD之間的位置關系為 ,數(shù)量關系為 .
②當點D在線段BC的延長線上時,如圖丙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90,點D在線段BC上運動.
試探究:當△ABC滿足一個什么條件時,CF⊥BC(點C、F重合除外)?畫出相應圖形,并說明理由.(畫圖不寫作法)
(3)若AC=,BC=3,在(2)的條件下,設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P,求線段CP長的最大值.
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【題目】如圖1,直線AB與x軸、y軸分別相交于點A、B,將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AC,連接BC,將△ABC沿射線BA平移,當點C到達x軸時運動停止.設平移距離為m,平移后的圖形在x軸下方部分的面積為S,S關于m的函數(shù)圖象如圖2所示(其中0<m≤a,a<m≤b時,函數(shù)的解析式不同).
(1)填空:△ABC的面積為 ;
(2)求直線AB的解析式;
(3)求S關于m的解析式,并寫出m的取值范圍.
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