Question

如圖所示，在邊長為4

2

正方形OABC中，OB為對角線，過點(diǎn)O作OB的垂線．以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，過點(diǎn)C做⊙O的兩條切線分別交OB垂線、BO延長線于點(diǎn)D、E，CD、CE分別切⊙O于點(diǎn)P、Q，連接AE．
（1）請先在一個(gè)等腰直角三角形內(nèi)探究tan22.5°的值；
（2）求證：
①DO=OE；
②AE=CD，且AE⊥CD．
（3）當(dāng)OA=OD時(shí)：
①求∠AEC的度數(shù)；
②求r的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì),圓周角定理,切線長定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：綜合題

分析：（1）如圖1，△GMN是等腰直角三角形，過點(diǎn)N作NF平分∠MNG，交GM于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FH⊥NG于H．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得FM=FH，利用三角函數(shù)可得GF=

2

FH，從而有GF=

2

FM，進(jìn)而可得MN=（

2

+1）FM，在Rt△FMN中運(yùn)用三角函數(shù)就可求出tan22.5°的值．
（2）如圖2，①易證∠DOC=∠EOC=135°，根據(jù)切線長定理可得∠PCO=∠QCO，從而可證到△DOC≌△EOC，則有OD=OE．②易證△AOE≌△COD，從而有AE=CD，∠AEO=∠CDO．由∠KDO+∠DKO=90°可得∠AEO+∠DKO=90°，即可證到AE⊥CD．
（3）連接OQ，如圖3．由OC=OE得∠OEC=∠OCE，從而求出∠OEC=22.5°．在Rt△OQE中，運(yùn)用三角函數(shù)可得到QE=（

2

+1）r，然后運(yùn)用勾股定理就可求出r的值．

解答：解：（1）如圖1，△GMN是等腰直角三角形．
則有∠M=90°即GM⊥MN，MG=MN，∠MGN=∠MNG=45°．
過點(diǎn)N作NF平分∠MNG，交GM于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FH⊥NG于H．
∵NF平分∠MNG，F(xiàn)H⊥NG，F(xiàn)M⊥MN，
∴∠MNF=

1

2

∠MNG=22.5°，F(xiàn)M=FH．
∵FH⊥NG即∠FHG=90°，∠G=45°，
∴sinG=

FH

GF

=

2

2

．
∴GF=

2

FH．
∴GF=

2

FM．
∴MN=MG=MF+FG=MF+

2

FM=（

2

+1）FM．
在Rt△FMN中，
tan∠FNM=tan22.5°=

FM

MN

=

FM

( 2 +1)FM

=

1

2 +1

=

2

-1．
∴tan22.5°=

2

-1．

（2）①如圖2，
∵四邊形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOB=∠BOC=45°．
∴∠EOC=180°-∠BOC=135°．
∵OD⊥OB即∠DOB=90°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=135°．
∴∠DOC=∠EOC．
∵CD、CE分別與⊙O相切于P、Q，
∴∠PCO=∠QCO．
在△DOC和△EOC中，

∠DCO=∠ECO OC=OC ∠DOC=∠EOC

．
∴△DOC≌△EOC（ASA）．
∴OD=OE．
②∵∠AOB=45°，
∴∠AOE=135°．
∴∠AOE=∠DOC．
在△AOE和△COD中，

OA=OC ∠AOE=∠DOC OE=OD

．
∴△AOE≌△COD（SAS）．
∴AE=CD，∠AEO=∠CDO．
∵∠DOB=90°，∴∠KDO+∠DKO=90°．
∴∠AEO+∠DKO=90°．
∴∠KRE=90°．
∴AE⊥CD．

（3）①∵OA=OD，OA=OC，OD=OE，
∴OA=OD=OE=OC．
∴點(diǎn)A、D、E、C在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓上．
∴根據(jù)圓周角定理可得∠AEC=

1

2

∠AOC=45°．
∴∠AEC的度數(shù)為45°．
②連接OQ，如圖3．
∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE．
∵∠BOC=∠OEC+∠OCE=2∠OEC=45°，
∴∠OEC=22.5°
∵CE與⊙O相切于點(diǎn)Q，
∴OQ⊥EC，即∠OQE=90°．
在Rt△OQE中，
∵∠OQE=90°，
∴tan∠OEQ=tan22.5°=

OQ

QE

=

2

-1．
∵OQ=r，
∴QE=

r

2 -1

=（

2

+1）r．
∵∠OQE=90°，
∴OQ²+QE²=OE²．
∵OQ=r，QE=（

2

+1）r，OE=4

2

，
∴r²+[（

2

+1）r]²=（4

2

）²．
整理得（4+2

2

）r²=32．
解得：r=2

4-2 2

．
∴r的值為2

4-2 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、切線長定理、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)．而證明三角形全等是證明線段（或角）相等常用的一種方法，需掌握．