Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線（、為常數(shù)）的頂點(diǎn)為，等腰直角三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，直角頂點(diǎn)在第四象限．

（1）如圖，若該拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)在直線上滑動(dòng)，且與交于另一點(diǎn)．

①若點(diǎn)在直線下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；

②取的中點(diǎn)，連接，，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，，，；②的最大值為．

【解析】

（1）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）①首先求出直線的解析式和線段的長(zhǎng)度，作為后續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ)．

若為等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：

當(dāng)為直角邊時(shí)：點(diǎn)到的距離為．此時(shí)，將直線向右平移4個(gè)單位后所得直線與拋物線的交點(diǎn)，即為所求之點(diǎn)；

當(dāng)為斜邊時(shí)：點(diǎn)到的距離為．此時(shí)，將直線向右平移2個(gè)單位后所得直線與拋物線的交點(diǎn)，即為所求之點(diǎn)．

②由①可知，為定值，因此當(dāng)取最小值時(shí)，有最大值．

如答圖2所示，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由分析可知，當(dāng)、、中點(diǎn)）三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為線段的長(zhǎng)度．

解：（1）等腰直角三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

拋物線過(guò)，兩點(diǎn)，

，

解得：，，

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．

（2）①，，，

直線的解析式為：．

設(shè)平移前拋物線的頂點(diǎn)為，則由（1）可得的坐標(biāo)為，且在直線上．

點(diǎn)在直線上滑動(dòng)，

可設(shè)的坐標(biāo)為，

則平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．

解方程組：，

解得，

，．

過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作軸，則

，．

．

若以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況：

當(dāng)為直角邊時(shí)：點(diǎn)到的距離為（即為的長(zhǎng)）．

由，，可知，

為等腰直角三角形，且，．

如圖1，過(guò)點(diǎn)作直線，交拋物線于點(diǎn)，則為符合條件的點(diǎn)．

可設(shè)直線的解析式為：，

，

，

解得，

直線的解析式為：．

解方程組，

得：，

，．

當(dāng)為斜邊時(shí)：，可求得點(diǎn)到的距離為．

如答圖2，取的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由，，可知：

為等腰直角三角形，且點(diǎn)到直線的距離為．

過(guò)點(diǎn)作直線，交拋物線于點(diǎn)，則為符合條件的點(diǎn)．

可設(shè)直線的解析式為：，

，

，

解得，

直線的解析式為：．

解方程組，

得：，

，，，．

綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為：

，，，，，．

②存在最大值．理由如下：

由①知為定值，則當(dāng)取最小值時(shí)，有最大值．

如答圖2，取點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，易得點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

連接，，，

易得，且，

四邊形為平行四邊形．

．

．

當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為．

的最大值為．