Question

已知拋物線y=ax²+x+c（a≠0）經(jīng)過A（-1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)M，對稱軸與BC相交于點(diǎn)N，與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）連接ON，AC，證明：∠NOB=∠ACB；
（3）點(diǎn)E是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，當(dāng)點(diǎn)E到直線BC的距離為

2

2

時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（4）在滿足（3）的條件下，連接EN，并延長EN交y軸于點(diǎn)F，E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線BC對稱嗎？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,勾股定理的應(yīng)用

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得解析式，把解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）根據(jù)有兩組對應(yīng)邊對應(yīng)成比例且夾角相等即可求得△ABC∽△NBO，由三角形相似的性質(zhì)即可求得．
（3）作EQ⊥BC于Q，根據(jù)拋物線的解析式先設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求得．
（4）先求得直線EF的解析式，即可求得BC⊥EF，根據(jù)勾股定理求得EN=FN，即可判定E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線BC對稱．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+x+c（a≠0）經(jīng)過A（-1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，
∴

a-1+c=0 4a+2+c=0

，
 解得

a=-1 c=2

．
∴拋物線為y=-x²+x+2；
∴拋物線為y=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

，
∴頂點(diǎn)M（

1

2

，

9

4

）．

（2）如圖1，∵A（-1，0），B（2，0），C（0，2），
∴直線BC為：y=-x+2，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=

3

2

，
∴N（

1

2

，

3

2

），
∴AB=3，BC=2

2

，OB=2，BN=

(2- 1 2 )2+( 3 2 )2

=

3

2

2

，
∴

AB

BC

=

3

2 2

=

3 2

4

，

BN

OB

=

3 2 2

2

=

3 2

4

，
∵∠ABC=∠NBO，
∴△ABC∽△NBO，
∴∠NOB=∠ACB；

（3）如圖2，作EQ⊥BC于Q，
∵直線BC為y=-x+2，
∴設(shè)E（m，-m²+m+2），
直線EQ的解析式為y=x+b，
則直線EQ為y=x+（-m²+2），
解

y=-x+2 y=x+(-m2+2)

得

x= 1 2 m y=- 1 2 m2+2

，
∴Q（

1

2

m²，-

1

2

m²+2），
∵EQ=

2

2

，
∴（m-

1

2

m²）²+（-

1

2

m²+2+m²-m-2）²=（

2

2

）²，
解得m=1，
∴-m²+m+2=2，
∴E（1，2），

（4）如圖2，連接EN，并延長EN交y軸于點(diǎn)F，
∵E（1，2），N（

1

2

，

3

2

），
設(shè)直線EN的解析式為y=ax+b，
∴

a+b=2 1 2 a+b= 3 2

，解得

a=1 b=1

，
∴直線EF為y=x+1，
∴F（0，1），
∵直線BC和直線EF斜率互為負(fù)倒數(shù)，
∴EF⊥BC，
∴EN=

(1- 1 2 )2+(2- 3 2 )2

=

2

2

，F(xiàn)N=

( 1 2 )2+( 3 2 -1)2

=

2

2

，
∴EN=FN，
∴E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線BC對稱．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，拋物線的頂點(diǎn)的求法，直線的交點(diǎn)問題，勾股定理的應(yīng)用等．