Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，直線CD與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)D，AB與CD相交于點(diǎn)E，線段OA、OC的長是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的兩根（OA＞OC），BE＝5，OB=OA．

(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求直線CD的解析式；

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)C、點(diǎn)E、點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形與△DCO相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（12，0）；C（﹣6，0）；（2）y＝﹣x+8；（3）存在；P的坐標(biāo)是（19，0）和（3，0）．

【解析】

（1）首先解方程x2-18x+72=0求得方程的根，則A和C的坐標(biāo)即可求得；

（2）根據(jù)三角函數(shù)求得B的坐標(biāo)，作EF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)△AEF∽△ABO，利用相似三角形的性質(zhì)求得EF和OF的長，即可求得E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；

（3）設(shè)P的坐標(biāo)是（p，0），則PC=p+6．分成△COD∽△CEP和△COD∽△CPE兩種情況進(jìn)行討論即可求解．

解：（1）x2﹣18x+72＝0即（x﹣12）（x﹣6）＝0，

則x﹣12＝0，x﹣6＝0，

解得：x＝12或x＝6，

又∵OA＞OC，

∴OA＝12，OC＝6，

∴A的坐標(biāo)是（12，0），C的坐標(biāo)是（﹣6，0）．

（2）∵,

∴,

則B的坐標(biāo)是（0，16）．

作EF⊥x軸于點(diǎn)F．

則△AEF∽△ABO，

∴,

∴

∴AF＝9，EF＝12，

則OF＝12﹣9＝3，

則E的坐標(biāo)是（3，12）．

設(shè)直線CD的解析式是y＝kx+b，則

解得：,

則直線CD的解析式是y＝x+8；

（3）設(shè)P的坐標(biāo)是（p，0），則PC＝p+6．

當(dāng)△COD∽△CEP時(shí)，，即，

解得：d＝19，

則P的坐標(biāo)是（19，0）；

當(dāng)△COD∽△CPE時(shí)，，則,

解得：p＝3，

則P的坐標(biāo)是（3，0）

總之，P的坐標(biāo)是（19，0）和（3，0）．