【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線AB與x軸、y軸分別交于點A、點B,直線CD與x軸、y軸分別交于點C、點D,AB與CD相交于點E,線段OA、OC的長是一元二次方程x2﹣18x+72=0的兩根(OA>OC),BE=5,OB=OA.
(1)求點A、點C的坐標;
(2)求直線CD的解析式;
(3)在x軸上是否存在點P,使點C、點E、點P為頂點的三角形與△DCO相似?若存在,請求出點P的坐標;如不存在,請說明理由.
【答案】(1)A(12,0);C(﹣6,0);(2)y=﹣x+8;(3)存在;P的坐標是(19,0)和(3,0).
【解析】
(1)首先解方程x2-18x+72=0求得方程的根,則A和C的坐標即可求得;
(2)根據(jù)三角函數(shù)求得B的坐標,作EF⊥x軸于點F,根據(jù)△AEF∽△ABO,利用相似三角形的性質(zhì)求得EF和OF的長,即可求得E的坐標利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式;
(3)設(shè)P的坐標是(p,0),則PC=p+6.分成△COD∽△CEP和△COD∽△CPE兩種情況進行討論即可求解.
解:(1)x2﹣18x+72=0即(x﹣12)(x﹣6)=0,
則x﹣12=0,x﹣6=0,
解得:x=12或x=6,
又∵OA>OC,
∴OA=12,OC=6,
∴A的坐標是(12,0),C的坐標是(﹣6,0).
(2)∵,
∴,
則B的坐標是(0,16).
作EF⊥x軸于點F.
則△AEF∽△ABO,
∴,
∴
∴AF=9,EF=12,
則OF=12﹣9=3,
則E的坐標是(3,12).
設(shè)直線CD的解析式是y=kx+b,則
解得:,
則直線CD的解析式是y=x+8;
(3)設(shè)P的坐標是(p,0),則PC=p+6.
當△COD∽△CEP時,,即,
解得:d=19,
則P的坐標是(19,0);
當△COD∽△CPE時,,則,
解得:p=3,
則P的坐標是(3,0)
總之,P的坐標是(19,0)和(3,0).
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【題目】點A為雙曲線(x>0)上一點,B為x軸正半軸上一點,線段AB的中點C恰好在雙曲線上,則△OAC的面積為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,直線y1=﹣x+4,y2=x+b都與雙曲線y=交于點A(1,m),這兩條直線分別與x軸交于B,C兩點.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)直接寫出當x>0時,不等式x+b>的解集;
(3)若點P在x軸上,連接AP把△ABC的面積分成1:3兩部分,求此時點P的坐標.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以邊上AC上一點O為圓心,OA為半徑作⊙O,⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點D,并與邊AC相交于另一點F.
(1)求證:BD是⊙O的切線.
(2)若AB=,E是半圓上一動點,連接AE,AD,DE.
填空:
①當的長度是____________時,四邊形ABDE是菱形;
②當的長度是____________時,△ADE是直角三角形.
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【題目】如圖,矩形ABCD的頂點A、C在平面直角坐標系的坐標軸上,AB=4,CB=3,點D與點A關(guān)于y軸對稱,點E、F分別是線段DA、AC上的動點(點E不與A、D重合),且∠CEF=∠ACB,若△EFC為等腰三角形,則點E的坐標為______.
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【題目】一個不透明的口袋中裝有4個分別標有數(shù)1,2,3,4的小球,它們的形狀、大小完全相同,小紅先從口袋里隨機摸出一個小球記下數(shù)為x,小穎在剩下的3個球中隨機摸出一個小球記下數(shù)為y,這樣確定了點P的坐標(x,y).
(1)小紅摸出標有數(shù)3的小球的概率是多少?.
(2)請你用列表法或畫樹狀圖法表示出由x,y確定的點P(x,y)所有可能的結(jié)果.
(3)求點P(x,y)在函數(shù)y=﹣x+5圖象上的概率.
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【題目】如圖,在一張長為8cm,寬為6cm的長方形紙片上,現(xiàn)要剪下一個腰長為5cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一個頂點與長方形的一個頂點重合,其余的兩個頂點在長方形的邊上).則剪下的等腰三角形的底邊長可以是_____
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【題目】拋物線y=ax2+bx+c上部分點的橫坐標x和縱坐標y的對應值如下表,則下列說法中正確的有_______.(填序號)
x | … | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | … |
y | … | -37 | -21 | -9 | -1 | 3 | 3 | … |
①當x>1時,y隨x的增大而減。 ②拋物線的對稱軸為直線x=-.
③當x=2時,y=-9. ④方程ax2+bx+c=0一個正數(shù)解滿足1<<2.
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【題目】綜合與實踐:
如圖1,中,,于點,且;如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上,動點從點出發(fā)以每秒的速度沿線段向點運動,同時動點從點出發(fā)以相同速度沿線段向點運動,當其中一點到達終點時另外一點也隨之停止運動,設(shè)點運動的時間為秒.
(1)求的長;
(2)當的其中一邊與平行時(與不重合),求的值;
(3)點在線段上運動的過程中,是否存在以為腰的是等腰三角形?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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