【題目】如圖,四邊形為正方形,上任意一點(diǎn),連接,過,交,過,交,在線段上作,連接,其中點(diǎn),上一點(diǎn),連接,,若,,求的值為________

【答案】

【解析】

連接DF,構(gòu)建菱形EBFD和平行四邊形GPFD,證明KPEF,得BPK∽△BFE,列比例式為=,設(shè)BP=3x,BF=5x,則PF=CM=DG=2x,EG=3x,根據(jù)BM=12列方程解出x的值,計(jì)算EG的長;設(shè)ACKG交于點(diǎn)O,過KKPACP,過GGQACQ,則KPGQ,根據(jù)同角的三角函數(shù)求KP、GQ、OP、OQ的長,證明KIO∽△GQO,根據(jù)相似比為2:3分別求OK、OG的長,并相加即可得KG的長,最后計(jì)算比值即可.

連接DF,

∵四邊形ABCD為正方形,

BC=CD,BCD=90°,

∴∠BCM+MCD=90°,

BMCH

∴∠BMC=90°,

∴∠BCM+MBC=90°,

∴∠MCD=MBC,

DEBM,

∴∠DGC=BMG=90°,

∴∠DGC=BMC=90°,

∴△BMC≌△CGD,

BM=CG=12,CM=DG,

PF=DG,

PF=DG=CM,

ABEADE中,

,

∴△ABE≌△ADE(SAS),

BE=ED,AEB=AED,

∴∠BEF=FED,

DEBM,

∴∠DEF=EFB,

∴∠BEF=EFB,

BE=BF,

BE=BF=ED,

∴四邊形EBFD是菱形,

∴∠BFE=EFD,

GD=PF,GDPF,

∴四邊形GPFD是平行四邊形,

GPDF,

∴∠BPG=BFD,

∵∠BPK=KPG,

2BPK=2BFE,

∴∠BPK=BFE,

PKEF,

∴△BPK∽△BFE,

=,

設(shè)BP=3x,BF=5x,則PF=CM=DG=2x,EG=3x,

FMDE,

∴△CFM∽△CEG,

,

FM=

BM=12,

BF+FM=12,

5x+=12,

解得:x1=2,x2=-12(舍),

EG=3x=6;FM==2,CM=2x=4,

∵∠BKP=BPK,

BK=BP=3x=6,

BF=5x=10,

EK=10-6=4,

設(shè)ACKG交于點(diǎn)O,過KKIACI,過GGQACQ,則KIGQ,

∵∠BEF=DEF,

,

∵∠BEF=BFE=CFM,

tanBEF=tanCFM===2,

EK=4,

KI=,EI=

同理得:GQ=,EQ=,

IQ=EQ-EI=-=

KIGQ,

∴△KIO∽△GQO,

,

,

OI=×IQ=×=

由勾股定理得:OK===,

OG=,

KG=OK+OG=,

==,

故答案為:.

練習(xí)冊系列答案
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1)求證:AD平分∠BAC

2)若∠BAC = 60°,OA = 2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留).

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(1)甲的工作效率為  個(gè)/時(shí),維修機(jī)器用了  小時(shí)

(2)乙的工作效率是  個(gè)/時(shí);問題解決

①乙加工多長時(shí)間與甲加工的零件數(shù)量相同,并求此時(shí)乙加工零件的個(gè)數(shù);

②若乙比甲早10分鐘完成任務(wù),求a的值.

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1)求證:四邊形BFDE是矩形;

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2)當(dāng)∠A=40°時(shí),求∠DEF的度數(shù);

3DEF可能是等腰直角三角形嗎?為什么?

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