Question

已知，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=a°，點K在△ABC內(nèi)，且∠AKB=90°，將△ABK繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a°，得△ACK′，作直線KK′交BC于點D，試探索CD與BD關(guān)系．

Answer 1

考點：圓的綜合題,四點共圓,三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：探究型

分析：連接AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AK=AK′，∠KAK′=a°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠AKK′，根據(jù)平角的定義可求出∠BKD；設(shè)∠BAK=b°，可求出∠BKD，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可證到∠KDC=∠BAK，從而得到A、B、D、K四點共圓，根據(jù)圓周角定理就可得到∠ADB=∠AKB=90°，即AD⊥BC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可得到CD與BD關(guān)系．

解答：解：連接AD，如圖所示．
∵將△ABK繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a°得到△ACK′，
∴AK=AK′，∠KAK′=a°，
∠AKK′=∠AK′K=

180°-a°

2

=90°-

a°

2

．
∵∠AKB=90°，
∴∠BKD=180°-90°-（90°-

a°

2

）=

a°

2

．
設(shè)∠BAK=b°，
∵∠AKB=90°，
∴∠ABK=90°-b°．
∵AB=AC，∠BAC=a°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-a°

2

=90°-

a°

2

，
∴∠KBC=∠ABC-∠ABK=（90°-

a°

2

）-（90°-b°）=b°-

a°

2

．
∴∠KDC=∠BKD+∠KBC=

a°

2

+b°-

a°

2

=b°，
∴∠KDC=∠BAK，
∴A、B、D、K四點共圓，
∴∠ADB=∠AKB=90°，即AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=CD．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、四點共圓的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識，有一定的綜合性，而證明A、B、D、K四點共圓則是解決本題的關(guān)鍵．