【題目】如圖,拋物線 y ax2 2a(x a<0)位于 x 軸上方的圖象記為F1,它與 x 軸交于 P1、O 兩點,圖象 F2與F1關(guān)于原點 O 對稱, F2 與 x 軸的另一個交點為 P2 , F1 將與 F2 同時沿 x 軸向右平移 P1 P2 的長度即可得到F3與F4 ;再將 F3與F4 同時沿 x 軸向右平移 P1 P2 的長度即可得到 F5與F6 ;…;按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象 F1,F(xiàn)2,,F(xiàn)n .我們把這組圖象稱為“波浪拋物線”.
(1)當 a=﹣1 時,
①求 F1 圖象的頂點坐標;
②點 H(2014,﹣3) (填“在”或“不在”)該“波浪拋物線”上;若圖象 F n的頂點 T n的橫坐標為201,則圖象 F n對應(yīng)的解析式為 , 其自變量 x 的取值范圍為 .
(2)設(shè)圖象 Fn、Fn+1 的頂點分別為 Tn、Tn+1 (n 為正整數(shù)),x 軸上一點 Q 的坐標為(12,0).試探究: 當 a 為何值時,以 O、 Tn、Tn+1 、Q 四點為頂點的四邊形為矩形?并直接寫出此時 n 的值.
【答案】(1)①(﹣1,1);②不在, y =(x﹣201)2﹣1 ,200≤x≤202;(2)a=﹣,故此時 n 的值為 4.
【解析】
(1)①a=-1代入拋物線的解析式,然后令y=可求得對應(yīng)的x的值,從而可得到p1的坐標,然后依據(jù)平移的方向和距離可得到點P2的坐標,接下來,利用配方法可求得拋物線的頂點F1的坐標②根據(jù)該“波浪拋物線”頂點坐標縱坐標分別為1和-1即可得出結(jié)論;
(2)設(shè)OQ中點為O′,則線段TnTn+1經(jīng)過O′,再根據(jù)圖形平移的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
(1)①當a=-1時,y=ax2+2ax=-x2-2x.
令-x2-2x=0,解得:x=0或x=-2.
∴點P1的坐標為(-2,0).
由平移的性質(zhì)可知P2的坐標為(2,0).
∵y=-x2-2x=(x+1)2+1,
∴圖象F1的頂點坐標為:(-1,1);
②∵該“波浪拋物線”頂點坐標縱坐標分別為1和-1,
∴點H(2015,-2),不在該“波浪拋物線”上,
∵圖象Fn的頂點Tn的橫坐標為201,
201÷4=50…1,故其圖象與F2,F4…形狀相同,
則圖象Fn對應(yīng)的解析式為:y=(x-201)2-1,
其自變量x的取值范圍為:200≤x≤202.
(2)設(shè)OQ中點為O′,則線段TnTn+1經(jīng)過O′,
由題意可知OO′=O′Q,O′Tn=O′Tn+1,
∴當TnTn+1=OQ=12時,四邊形OTnTn+1Q為矩形,
∴O′Tn+1=6,
∵F1對應(yīng)的解析式為y=a(x+1)2-a,
∴F1的頂點坐標為(-1,-a),
∴由平移的性質(zhì)可知,點Tn+1的縱坐標為-a,
∴由勾股定理得(-a)2+(-1)2=62,
∴a=±,
∵a<0,
∴a=﹣ ,故此時 n 的值為 4.
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【題目】如圖,將長方形紙片ABCD沿EF折疊,使點A與點C重合,點D落在點G處,EF為折痕.
(1)求證:△FGC≌△EBC;
(2)試判斷△CEF的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3)若AB=8,AD=4,求四邊形ECGF的面積.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=25°,O為AB的中點. 將OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)θ °至OP(0<θ<180),當△BCP恰為軸對稱圖形時,θ的值為_____________.
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【題目】為養(yǎng)成學(xué)生課外閱讀的習(xí)慣,各學(xué)校普遍開展了“我的夢.中國夢”課外閱讀活動.某校為了解七年級1200名學(xué)生課外日閱讀所用時間情況,從中隨機抽查了部分同學(xué),進行了相關(guān)統(tǒng)計,整理并繪制出如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖,請根據(jù)圖表信息解答下列問題:
(1)表中 a= ,b= ;
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖中空缺的部分;
(3)樣本中,學(xué)生日閱讀所用時間的中位數(shù)落在第 組;
(4)請估計該校七年級學(xué)生日閱讀量不足 1 小時的人數(shù).
組別 | 時間段(小時) | 頻數(shù) | 頻率 |
1 | 0≤x<0.5 | 10 | 0.05 |
2 | 0.5≤x<1.0 | 20 | 0.10 |
3 | 1.0≤x<1.5 | 80 | b |
4 | 1.5≤x<2.0 | a | 0.35 |
5 | 2.0≤x<2.5 | 12 | 0.06 |
6 | 2.5≤x<3.0 | 8 | 0.04 |
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【題目】如圖,Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點O是BC的中點,如果點M、N分別在線段AB、AC上移動,并在移動過程中始終保持AN=BM.
(1)求證:△ANO≌△BMO;
(2)求證:OM⊥ON.
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【題目】一列快車從甲地駛往乙地,一列慢車從乙地駛往甲地,兩車同時出發(fā),設(shè)慢車行駛的時間為,兩車之間的距離為,圖中的折線表示與之間的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)圖象進行一下探究:
信息讀。1)甲、乙兩地之間的距離為______:
(2)請解釋圖中點的實際意義:_______
圖象理解(3)求慢車和快車的速度:
(4)求線段所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍:
問題解決(5)若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地,速度與第一列快車相同,在第一列快車與慢車相遇分鐘后,第二列快車與慢車相遇,求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時?
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【題目】如圖,有一木質(zhì)圓柱筆筒的高為9cm,底面半徑為2cm,現(xiàn)要圍繞筆筒的表面由A到A1(A,A1在圓柱的同一軸截面上)鑲上一條銀色金屬線作為裝飾,則這條金屬線的最短長度是_________cm.(π取3)
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【題目】如圖,平面直角坐標系中,過點的直線與直線相交于點,動點在線段和射線上運動.
(1)求直線的表達式.
(2)求的面積.
(3)直接寫出使的面積是面積的的點坐標.
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