Question

如圖1，拋物線y=a（x﹣1）²+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)，直線MD⊥x軸于點(diǎn)D，E是線段DM上一點(diǎn)，DE=1，且∠DBE=∠BMD．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上一點(diǎn)，且△PBE是以BE為一條直角邊的直角三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，N為線段MD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以N為等腰三角形頂角頂點(diǎn)，NA為腰構(gòu)造等腰△NAG，且G點(diǎn)落在直線CM上，若在直線CM上滿足條件的G點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

　

Answer 1

 

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】綜合題．

【分析】（1）由∠DBE=∠BMD可得△BDE∽△MDB，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出DB，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就可解決問題；

（2）可分點(diǎn)E和點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，作EF⊥EB交x軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)P₁、P₂，如圖1，易證△FDE∽△EDB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出DF的值，從而可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，再求出直線EF與拋物線的交點(diǎn)，就可解決問題；②點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，先求出BP₃的解析式，再求出直線BP₃與拋物線的交點(diǎn)，就可解決問題；

（3）作NG⊥MC于G，作CH⊥MD于H，如圖2．設(shè)N（1，n），易得NG=MN=（4﹣n），NA²=2²+n²=4+n²，由題可得NG=NA，由此即可得到關(guān)于n的方程，解這個(gè)方程就可解決問題．

【解答】解：（1）由題可知：M（1，4），

則有OD=1，DM=4．

∵∠DBE=∠BMD，∠BDE=∠MDB，

∴△BDE∽△MDB，

∴=，

∵DE=1，DM=4，

∴=，

解得：DB=2，

∴OB=OD+DB=3，

∴B（3，0）．

把點(diǎn)B（3，0）代入y=a（x﹣1）²+4，得

a（3﹣1）²+4=0，

解得：a=﹣1．

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）²+4=﹣x²+2x+3；

 

（2）①當(dāng)∠PEB=90°時(shí)，

作EF⊥EB交x軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)P₁、P₂，如圖1，

則有∠FEB=∠FED+∠DEB=90°．

∵∠FED+∠EFD=90°，

∴∠EFD=∠DEB．

∵∠FDE=∠EDB=90°，

∴△FDE∽△EDB，

∴=，

∴=，

解得：DF=，

∴OF=OD﹣DF=1﹣=，

∴F（，0）．

設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，

則有，

解得：，

∴直線EF的解析式為：y=2x﹣1．

聯(lián)立，

解得：或，

∴P₁（2，3），P₂（﹣2，﹣5）；

②當(dāng)∠PBE=90°時(shí)，

可設(shè)直線BP₃的解析式為：y=2x+n，

把B（3，0）代入y=2x+n，得

6+n=0，

解得：n=﹣6，

∴直線BP₃的解析式為y=2x﹣6，

聯(lián)立，

解得：或，

∴P₃（﹣3，﹣12）．

綜上所述：符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為P₁（2，3），P₂（﹣2，﹣5），P₃（﹣3，﹣12）；

 

（3）作NG⊥MC于G，作CH⊥MD于H，如圖2．

則有∠MGN=∠MHC=90°．

設(shè)N（1，n），

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，點(diǎn)C（0，3）．

∵M(jìn)（1，4），

∴CH=MH=1，

∴∠CMH=∠MCH=45°，

∴NG=MN=（4﹣n）．

在Rt△NAD中，

∵AD=DB=2，DN=n，

∴NA²=2²+n²=4+n²．

當(dāng)直線CM上滿足條件的G點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí)，有NG=NA，

∴（4﹣n）²=4+n²

整理得：n²+8n﹣8=0，

解得：n₁=﹣4+2，n₂=﹣4﹣2（舍負(fù)），

∴N（1，﹣4+2）．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求直線及拋物線的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、勾股定理、求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)，用到了分類討論的思想，利用NG=NA則是解決第（3）小題的關(guān)鍵．