Question

如圖1，拋物線y=a（x﹣1）²+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，M為拋物線的頂點，直線MD⊥x軸于點D，E是線段DM上一點，DE=1，且∠DBE=∠BMD．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上一點，且△PBE是以BE為一條直角邊的直角三角形，請求出所有符合條件的P點的坐標；

（3）如圖2，N為線段MD上一個動點，以N為等腰三角形頂角頂點，NA為腰構造等腰△NAG，且G點落在直線CM上，若在直線CM上滿足條件的G點有且只有一個時，求點N的坐標．

　

Answer 1

 

【考點】二次函數綜合題；待定系數法求一次函數解析式；勾股定理；相似三角形的判定與性質．

【專題】綜合題．

【分析】（1）由∠DBE=∠BMD可得△BDE∽△MDB，然后根據相似三角形的性質可求出DB，從而得到點B的坐標，然后把點B的坐標代入拋物線的解析式，就可解決問題；

（2）可分點E和點B為直角頂點兩種情況進行討論：①點E為直角頂點，作EF⊥EB交x軸于點F，交拋物線于點P₁、P₂，如圖1，易證△FDE∽△EDB，根據相似三角形的性質可求出DF的值，從而可求出點F的坐標，然后用待定系數法求出直線EF的解析式，再求出直線EF與拋物線的交點，就可解決問題；②點B為直角頂點，先求出BP₃的解析式，再求出直線BP₃與拋物線的交點，就可解決問題；

（3）作NG⊥MC于G，作CH⊥MD于H，如圖2．設N（1，n），易得NG=MN=（4﹣n），NA²=2²+n²=4+n²，由題可得NG=NA，由此即可得到關于n的方程，解這個方程就可解決問題．

【解答】解：（1）由題可知：M（1，4），

則有OD=1，DM=4．

∵∠DBE=∠BMD，∠BDE=∠MDB，

∴△BDE∽△MDB，

∴=，

∵DE=1，DM=4，

∴=，

解得：DB=2，

∴OB=OD+DB=3，

∴B（3，0）．

把點B（3，0）代入y=a（x﹣1）²+4，得

a（3﹣1）²+4=0，

解得：a=﹣1．

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）²+4=﹣x²+2x+3；

 

（2）①當∠PEB=90°時，

作EF⊥EB交x軸于點F，交拋物線于點P₁、P₂，如圖1，

則有∠FEB=∠FED+∠DEB=90°．

∵∠FED+∠EFD=90°，

∴∠EFD=∠DEB．

∵∠FDE=∠EDB=90°，

∴△FDE∽△EDB，

∴=，

∴=，

解得：DF=，

∴OF=OD﹣DF=1﹣=，

∴F（，0）．

設直線EF的解析式為y=kx+b，

則有，

解得：，

∴直線EF的解析式為：y=2x﹣1．

聯(lián)立，

解得：或，

∴P₁（2，3），P₂（﹣2，﹣5）；

②當∠PBE=90°時，

可設直線BP₃的解析式為：y=2x+n，

把B（3，0）代入y=2x+n，得

6+n=0，

解得：n=﹣6，

∴直線BP₃的解析式為y=2x﹣6，

聯(lián)立，

解得：或，

∴P₃（﹣3，﹣12）．

綜上所述：符合條件的P點的坐標為P₁（2，3），P₂（﹣2，﹣5），P₃（﹣3，﹣12）；

 

（3）作NG⊥MC于G，作CH⊥MD于H，如圖2．

則有∠MGN=∠MHC=90°．

設N（1，n），

當x=0時，y=3，點C（0，3）．

∵M（1，4），

∴CH=MH=1，

∴∠CMH=∠MCH=45°，

∴NG=MN=（4﹣n）．

在Rt△NAD中，

∵AD=DB=2，DN=n，

∴NA²=2²+n²=4+n²．

當直線CM上滿足條件的G點有且只有一個時，有NG=NA，

∴（4﹣n）²=4+n²

整理得：n²+8n﹣8=0，

解得：n₁=﹣4+2，n₂=﹣4﹣2（舍負），

∴N（1，﹣4+2）．

【點評】本題主要考查了運用待定系數法求直線及拋物線的解析式、相似三角形的判定與性質、解一元二次方程、勾股定理、求直線與拋物線的交點坐標等知識，用到了分類討論的思想，利用NG=NA則是解決第（3）小題的關鍵．