Question

如圖（1），線段AB與射線OC相交于點(diǎn)O，且∠BOC=60°，AO=3，OB=1，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，在射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，則OP=        ，=       ；

（2）當(dāng)△OPB是直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）如圖（2），當(dāng)AP=AB,過點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，連接QP,QO、AP交于點(diǎn)F,試證明△APQ∽△BPO。

Answer 1

解：（1）OP=3，=3:4       4分      

       （2）①∵∠BOP=60°∴∠BOP不為直角； 5分

            ②當(dāng)∠OBP=90°時(shí)，如圖所示

             ∵∠BOP=60°∴∠OPB=30°

             ∴OP=2OB,

              ∴t=2s                            7分

             ③當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，如圖所示

            ∵∠BOP=60°∴∠OBP=30°

             ∴OB=2OP,

∴2t=1     ∴t=s              8分

綜上，當(dāng)△OPB為直角三角形時(shí)，t=2s或s     9分

(3) ∵AQ∥BP，

∴ ∠QAP=∠APB

∵ AP=AB

∴∠APB=∠B   ∴ ∠QAP=∠B

又∵ ∠QOP=∠B    

∴ ∠QAP=∠QOP

又∵∠QFA=∠PFO

∴ △QFA∽△PFO

∴ ，                      11分

即                        12分

又∵ ∠PFQ=∠OFA，

∴ △PFQ∽△OFA                     13分

∴ ∠QPA=∠QOA.

∵ ∠AOC=∠OPB+∠B=∠QOA+∠QOP，∠B=∠QOP，

∴∠QOA=∠OPB    ∴∠OPB =∠QPA.

∴ △APQ∽△BPO.