Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x²+bx+c與x軸交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，四邊形OBCD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），已知點(diǎn)E（m，0）是線段DO上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示PG的長(zhǎng)度；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

　

Answer 1

 解：（1）∵拋物線y=﹣x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，4），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x²﹣x+4；

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，

∴P（m，﹣m²﹣m+4），G（m，4），

∴PG=﹣m²﹣m+4﹣4=﹣m²﹣m；

點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，故需要求出拋物線與直線BC的交點(diǎn)，

令4=﹣m²﹣m+4，解得m=﹣2或0，

即m的取值范圍：﹣2＜m＜0，

PG的長(zhǎng)度為：﹣m²﹣m（﹣2＜m＜0）；

（3）在（2）的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似．

∵y=﹣x²﹣x+4，

∴當(dāng)y=0時(shí)，﹣x²﹣x+4=0，

解得x=1或﹣3，

∴D（﹣3，0）．

當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，﹣2＜m＜0．

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+4，

將D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，

解得k=，

∴直線BD的解析式為y=x+4，

∴H（m，m+4）．

分兩種情況：

①如果△BGP∽△DEH，那么=，

即=，

解得m=﹣3或﹣1，

由﹣2＜m＜0，故m=﹣1；

②如果△PGB∽△DEH，那么=，

即=，

由﹣2＜m＜0，解得m=﹣．

綜上所述，在（2）的條件下，存在點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似，此時(shí)m的值為﹣1或﹣．