Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x²+bx+c與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當點P在直線BC上方時，請用含m的代數式表示PG的長度；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

 解：（1）∵拋物線y=﹣x²+bx+c與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B（0，4），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x²﹣x+4；

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，

∴P（m，﹣m²﹣m+4），G（m，4），

∴PG=﹣m²﹣m+4﹣4=﹣m²﹣m；

點P在直線BC上方時，故需要求出拋物線與直線BC的交點，

令4=﹣m²﹣m+4，解得m=﹣2或0，

即m的取值范圍：﹣2＜m＜0，

PG的長度為：﹣m²﹣m（﹣2＜m＜0）；

（3）在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似．

∵y=﹣x²﹣x+4，

∴當y=0時，﹣x²﹣x+4=0，

解得x=1或﹣3，

∴D（﹣3，0）．

當點P在直線BC上方時，﹣2＜m＜0．

設直線BD的解析式為y=kx+4，

將D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，

解得k=，

∴直線BD的解析式為y=x+4，

∴H（m，m+4）．

分兩種情況：

①如果△BGP∽△DEH，那么=，

即=，

解得m=﹣3或﹣1，

由﹣2＜m＜0，故m=﹣1；

②如果△PGB∽△DEH，那么=，

即=，

由﹣2＜m＜0，解得m=﹣．

綜上所述，在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似，此時m的值為﹣1或﹣．