Question

【題目】如圖，BC＝8cm，點(diǎn)D是線段BC上的一點(diǎn)，分別以BD、CD為邊在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形CDE，AC、BE相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)（含與點(diǎn)B、C重合）為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作△BCP的外接圓⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，延長(zhǎng)OF交⊙O于G，連接BG，CG，OB，OC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和角的和差關(guān)系可得∠BDE=∠ADC，∠ABD=∠EDC=60°，可得AB//DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABE=∠BED，利用SAS可證明△BDE≌△ADC，可得∠BED=∠ACD，進(jìn)而可證明∠EBD+∠ACD=∠ABD=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC=120°，根據(jù)圓周角定理可得點(diǎn)P在△BCP的外接圓上，∠BPC=∠BGC=120°，可得點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)（含與點(diǎn)B、C重合）為的長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理可得∠BOC=120°，根據(jù)垂徑定理可得BF的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出OB的長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)即可得答案.

作△BCP的外接圓⊙O，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，延長(zhǎng)OF交⊙O于G，連接BG，CG，OB，OC，

∵△ABD和△CDE是等邊三角形，

∴∠ABD=∠EDC=60°，

∴AB//DE，∠ABD+∠ADE=∠EDC+∠ADE，

∴∠ABE=∠BED，∠BDE=∠ADC，

在△BDE和△ADC中，，

∴△BDE≌△ADC，

∴∠BED=∠ACD，

∴∠ACD=∠ABE，

∴∠ACD+∠EBC=∠ABE+∠EBC=∠ABD=60°，

∴∠BPC=180°-（∠ACD+∠EBC）=120°，

∴點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)（含與點(diǎn)B、C重合）為的長(zhǎng)，

∵OG⊥BC，∠BGC=∠BPC=120°，

∴BF=BC=×8=4，∠OGB=∠BGC=60°，

∵OB=OG，

∴△OBG是等邊三角形，

∴∠BOG=60°，

∴∠BOC=2∠BOG=120°，∠OBF=30°，

∴OF=OB，

∴OB2=OF2+BF2，即OB2=(OB)2+(4)2,

解得OB=8，（負(fù)值舍去），

∴==，

故答案為：