【題目】如圖①,定義:直線 (m<0, n>0) 與x、y軸分別相交于A、B兩點,將△AOB繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD,過點A、B、D的拋物線P叫做直線l的“糾纏拋物線”,反之,直線l叫做P的“糾纏直線”,兩線“互為糾纏線”。
(1) 若,則糾纏拋物線P的函數(shù)解析式是 .
(2) 判斷并說明與是否“互為糾纏線”.
(3) 如圖②,若糾纏直線,糾纏拋物線P的對稱軸與CD相交于點E,點F在l上,點Q在P的對稱軸上,當以點C、E、Q、F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時,求點Q的坐標.
(4) 如圖③,在(3)的條件下,G為線段AB上的一個動點,G點隨著△AOB旋轉(zhuǎn)到線段CD上的H點,連接H、G,取HG的中點M,當點G從A開始運動到B點,直接寫出點M的運動路徑長。
【答案】解:(1);(2)詳見解析;(3)Q點坐標為或;(4)M的運動路徑長為
【解析】
(1)根據(jù)題意及直線l解析式可得A,B,D坐標,用待定系數(shù)法可求拋物線P的函數(shù)解析式;
(2)分別在x=0時和y=0時,求兩函數(shù)與坐標軸交點,然后根據(jù)“互為糾纏線”的定義進行判斷;
(3)以點C,E,Q,F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時,則有FQ∥CE,且FQ=CE.以此為基礎(chǔ),列方程求出點Q的坐標;
(4)如圖,過點H,G分別作HJ⊥x軸,GK⊥x軸,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明△HJO≌△OKG,則可以設(shè)點G(m,-2m+4)(0≤m≤2), H(2m-4,m),得到M點坐標為(),從而確定出點M在直線(-2≤x≤1)上運動,然后根據(jù)兩點間距離公式易得結(jié)果.
解:(1)若,則A(1,0),B(0,2),D(-2,0),
設(shè)拋物線解析式為:y=a(x-1)(x+2),
將B(0,2)代入可得:a=-1,
∴拋物線解析式為:y=-(x-1)(x+2)=;
(2)當x=0時,,,
∴兩函數(shù)圖像交于y軸(0,2k),
當y=0時,①,解得:x=k,
②,解得:,,
∴兩函數(shù)圖像交于x軸(k,0),且OB=OD,
∴與“互為糾纏線”;
(3)若,則A(2,0),B(0,4),C(0,2),D(-4,0),
求得直線CD的解析式為:y=,
可求得P的對稱軸為.
∵以點C,E,Q,F為頂點的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形,
∴FQ∥CE,且FQ=CE.
設(shè)直線FQ的解析式為:y=,
∵點E、點C的橫坐標相差1,
∴點F、點Q的橫坐標也是相差1.
則|xF(1)|=|xF+1|=1,
解得xF=0或xF=2.
∵點F在直線l:y=2x+4上,
∴點F坐標為(0,4)或(2,8).
若F(0,4),則直線FQ為:y=+4,
當x=1時,y=,
∴Q1(1,);
若F(2,8),則直線FQ為:y=x+9,
當x=1時,y=,
∴Q2(1,).
∴滿足條件的點Q有2個,點Q坐標為Q1(1,), Q2(1,).
(4)如圖,過點H,G分別作HJ⊥x軸,GK⊥x軸,
∵OH=OG,∠HOG=90°,
∴∠HOJ+∠GOK=90°,
∵∠HOJ+∠JHO=90°,
∴∠GOK=∠JHO,
又∵∠HJO=∠OKG=90°,
∴△HJO≌△OKG,
設(shè)點G(m,-2m+4)(0≤m≤2),則H(2m-4,m)
∴M(),
令,
∴,
∴,
∵0≤m≤2,
∴-2≤x≤1,
∴點M在直線(-2≤x≤1)上運動,
當x=1時,y=,
當x=-2時,y=,
∴M的運動路徑長=
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【題目】如圖,矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標原點,矩形的邊分別平行于坐標軸,點C在反比例函數(shù)的圖象上.若點A的坐標為(﹣4,﹣4),則k的值為( 。
A. 16B. ﹣3C. 5D. 5或﹣3
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【題目】如圖,點A1(1,)在直線y=kx上,過點A1作A1B1∥y軸交直線y=x于點B1,以A1B1為邊在A1B1的右側(cè)作正方形A1B1C1D1,直線C1D1分別交直線y=kx和y=x于A2,B2兩點,以A2B2為邊在A2B2的右側(cè)作等正方形A2B2C2D2…,直線C2D2分別交直線y=kx和y=x于A3,B3兩點,以A3B3為邊在A3B3的右側(cè)作正方形A3B3C3D3,…,按此規(guī)律進行下去,則正方形AnBnCnDn的面積為____________.(用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示)
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【題目】“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目,其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成,運動員可根據(jù)自己的身高和習慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離.某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題,請你解答.
如圖所示,底座上A,B兩點間的距離為90cm.低杠上點C到直線AB的距離CE的長為155cm,高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234cm,已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4°,高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3°.求高、低杠間的水平距離CH的長.(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.983,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)
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【題目】為了貫徹落實《關(guān)于開展全市義務(wù)教育學(xué)生體質(zhì)抽測工作的通知》精神,推進青少年茁壯成長工程,我市決定繼續(xù)開展市直初中生體質(zhì)抽測工作。我校初三某班被抽中,已知各人選測項目為下列選項中的任意一項:引體向上(男生)、仰臥起坐(女生)、立定跳遠(男、女生),坐位體前屈(男、女生)。
(1)男生小磊抽測引體向上的概率是 ;
(2)用樹狀圖或列表法求男生小磊與女生小銘恰好都抽測坐位體前屈的概率.
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點A(﹣3,0),對稱軸為直線x=﹣1,給出以下結(jié)論:①abc<0 ②b2﹣4ac>0 ③4b+c<0 ④若B(﹣,y1)、C(﹣,y2)為函數(shù)圖象上的兩點,則y1>y2⑤當﹣3≤x≤1時,y≥0,
其中正確的結(jié)論是(填寫代表正確結(jié)論的序號)__________________.
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【題目】“單詞的記憶效率”是指復(fù)習一定量的單詞,一周后能正確默寫出的單詞個數(shù)與復(fù)習的單詞個數(shù)的比值.右圖描述了某次單詞復(fù)習中四位同學(xué)的單詞記憶效率與復(fù)習的單詞個數(shù)的情況,則這四位同學(xué)在這次單詞復(fù)習中正確默寫出的單詞個數(shù)最多的是( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,某海監(jiān)船以20海里/小時的速度在某海域執(zhí)行巡航任務(wù),當海監(jiān)船由西向東航行至A處時,測得島嶼P恰好在其正北方向,繼續(xù)向東航行1小時到達B處,測得島嶼P在其北偏西30°方向,保持航向不變又航行2小時到達C處,此時海監(jiān)船與島嶼P之間的距離(即PC的長)為( 。
A. 40海里 B. 60海里 C. 20海里 D. 40海里
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),過(1,y1)、(2,y2).下列結(jié)論:①若y1>0時,則a+b+c>0; ②若a=2b時,則y1<y2;③若y1<0,y2>0,且a+b<0,則a>0.其中正確的結(jié)論個數(shù)為( )
A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個
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