Question

已知拋物線OPE與x軸的交點為點O、點E且OE=4，點A是拋物線OPE的一個動點（不與點O、E重合），作AB⊥X軸于點B，線段AB的最大值是PM=4．
（1）求拋物線OPE的解析式．
（2）當點A運動到什么位置時，圖中的矩形ABCD是正方形？并求出點A的坐標．
（3）是否在此拋物線上存在點A使得△ABO與△PMO相似？若存在，請求出點A的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出點O，E，P的坐標，利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）設(shè)當A的坐標為（x，-x²+4x）時，矩形ABCD是正方形，利用正方形的邊長相等求解．
（3）分兩種情況：①當∠BAO=∠MPO時，△ABO與△PMO相似；②當∠AOB=∠MPO時，△ABO與△PMO相似；利用比例式求解．

解答：解：∵拋物線OPE與x軸的交點為點O、點E且OE=4，
∴O（0，0），E（4，0），
∵AB⊥X軸于點B，線段AB的最大值是PM=4．
∴P（2，4），
∵拋物線OPE過原點，設(shè)它的解析式為y=ax²+bx，
把E（4，0），P（2，4），代入y=ax²+bx，得

16a+4b=0 4a+2b=4

解得

a=-1 b=4

．
∴拋物線OPE的解析式為y=-x²+4x．
（2）設(shè)當A的坐標為（x，-x²+4x）時，矩形ABCD是正方形，
∵OM=2，
∴BM=2-x，
BC=2BM=2（2-x）=4-2x，
∵AB=-x²+4x，
∴-x²+4x=4-2x，解得x=3-

5

或x=3+

5

（舍去）．
∴-x²+4x=2

5

-2，
∴點A的坐標（3-

5

，2

5

-2），
（3）存在．
設(shè)點A的坐標為（x，-x²+4x）時，△ABO與△PMO相似，
①當∠BAO=∠MPO時，
∵

AB

PM

=

OB

OM

，
∴

-x2+4x

4

=

x

2

，
解得x=2或x=0（舍去），
點A的坐標為（2，4）時，即與點P重合，
②當∠AOB=∠MPO時，
∵

OB

PM

=

AB

OM

，
即

x

4

=

-x2+4x

2

，解得x=

7

2

或x=0（舍去）
∴-x²+4x=

7

4

，
∴點A的坐標（

7

2

，

7

4

），
綜上所述當A的坐標為（2，4）或（

7

2

，

7

4

）時，△ABO與△PMO相似．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用，涉及三角形相似，二次函數(shù)解析式及正方形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形相似列出方程．