Question

如圖：在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=

3

4

x+6的圖象為直線l₁，l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，垂直于l₁的直線l₂從C（12，0）出發(fā)沿射線CO方向，以每秒5個單位的速度運動，同時P、Q兩點從A點出發(fā)，其中P沿A→B→O方向運動，速度為每秒4個單位，點Q沿射線AO方向運動，速度為每秒5各單位，當P點到達O點時，所有運動停止；
（1）寫出A點的坐標和AB的長；
（2）當P、Q、l₂運動了t秒時，以Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l₂相切，求t的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點求法，分別求出坐標即可；
（2）①當0≤t≤1.6秒時，根據(jù)相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及當⊙Q在y軸右側(cè)與y軸相切時，當⊙Q在y軸的左側(cè)與y軸相切時，分別分析得出答案．②當2.5≤t≤4秒時，根據(jù)相似三角形的判定得出△QDF∽△AOB，求得DQ，最后根據(jù)PQ=DQ，應(yīng)用勾股定理得到（16-4t）²+（5t-8）²=（8t-16）²，解這個方程即可求得；

解答：解：（1）∵直線y=

3

4

x+6的圖象與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，
∴y=0時，x=-8，
∴A（-8，0），AO=8，
∵圖象與y軸交點坐標為：（0，6），BO=6，
∴由勾股定理得 AB=

62+82

=10．
綜上所述，A（-8，0），AB=10；

（2）由題意得：AP=4t，AQ=5t，

AP

AO

=

AQ

AB

=

t

2

，
又∠PAQ=∠OAB，
∴△APQ∽△AOB，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∵點P在l₁上，
∴⊙Q在運動過程中保持與l₁相切，
①如圖1，當0≤t≤1.6秒時．
由題意可得PQ=DQ且AQ=FC=5t，AP=4t
∵△APQ∽△AOB，
∴

PQ

OB

=

AP

OB

，
即

PQ

6

=

4t

8

，解得PQ=3t，
∵直線l₁的斜率是

3

4

，
∴直線l₂的斜率為-

4

3

，
∴tan∠DFQ=

4

3

，
∴FQ=

15

4

t，
∵AQ+FQ+FC=20
∴5 t+

15

4

t+5t=20
所以t=

16

11

秒＜1.6；
如圖2、當1.6≤t≤2.5秒時
∵AQ+FC-FQ=20，
∴5t+5t-

15

4

t=20，
所以t=

16

5

秒＞2.5（舍去），
如圖3、當2.5≤t≤4秒時
∵OQ=5t-8，OF=5t-12，
∴FQ=OQ+OF=10t-20，
∵△QDF∽△AOB，
∴

DQ

OA

=

FQ

AB

，
即

DQ

8

=

10t-20

10

，
∴DQ=8t-16，
∵OP=16-4t，OQ=5t-8，
∴PQ²=OP²+OQ²=（16-4t）²+（5t-8）²，
∵PQ=DQ，
∴（16-4t）²+（5t-8）²=（8t-16）²，
整理得：23t²-48t-40=0，
解得：t=

24+32 2

23

，t=

24-32 2

23

（舍去），
所以以Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l₂相切時t的值為

16

11

秒或

24+32 2

23

秒．

點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合進行分析注意分類討論才能得出正確答案．